При каких значениях c векторы n(c+2; 4) и m(3c^2-7; 5c+1) являются равными, то есть m=4n?

Semen

68

Чтобы векторы \(n\) и \(m\) были равными, нужно, чтобы координаты каждого из них были равными. Для этого мы должны приравнять соответствующие координаты и решить полученные уравнения. Давайте сделаем это.

Первый вектор \(n\) имеет координаты \((c+2, 4)\), а второй вектор \(m\) имеет координаты \((3c^2-7, 5c+1)\).

Мы хотим, чтобы \(m = 4n\), поэтому мы можем приравнять соответствующие координаты:

\[
\begin{cases}
3c^2-7 = 4(c+2) \\
5c+1 = 4 \cdot 4
\end{cases}
\]

Решим каждое уравнение по отдельности.

Первое уравнение:
\[
3c^2-7 = 4(c+2)
\]

Распишем скобки:
\[
3c^2-7 = 4c+8
\]

Перенесем все в одну сторону:
\[
3c^2-4c-15 = 0
\]

Факторизуем это уравнение:
\[
(3c+5)(c-3) = 0
\]

Теперь мы получили два возможных значения для \(c\): \(c = -\frac{5}{3}\) или \(c = 3\).

Второе уравнение:
\[
5c+1 = 4 \cdot 4
\]

Расширим выражение:
\[
5c+1 = 16
\]

Перенесем все в одну сторону:
\[
5c = 15
\]

Разделим обе части на 5:
\[
c = 3
\]

Мы снова получили значение \(c = 3\).

Итак, при \(c = -\frac{5}{3}\) и \(c = 3\) векторы \(n(c+2; 4)\) и \(m(3c^2-7; 5c+1)\) будут равными.