При каких значениях угла между векторами a(4;-7) и b(3;y) угол будет а) острый б) прямой с)тупой?

Liska_3539

51

Для начала, давайте рассмотрим острый угол между двумя векторами a и b. Острый угол определяется тем, что косинус угла между векторами больше нуля. Косинус угла между векторами вычисляется следующим образом:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}}\]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, \(\cdot\) - операция скалярного произведения, и \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - длины векторов.

Теперь применим эту формулу к нашей задаче. Подставим значения векторов \(\mathbf{a}(4;-7)\) и \(\mathbf{b}(3;y)\) в формулу косинуса угла.

Сначала найдем длины векторов \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\). Длина вектора вычисляется по формуле:

\[\|\mathbf{v}\| = \sqrt{{v_x}^2 + {v_y}^2}\]

где \(\mathbf{v}\) - это вектор, \(v_x\) и \(v_y\) - его компоненты.

Для вектора \(\mathbf{a}(4;-7)\) имеем:

\[\|\mathbf{a}\| = \sqrt{{4}^2 + {(-7)}^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\]

Теперь рассмотрим вектор \(\mathbf{b}(3;y)\). Мы не знаем значение компоненты \(y\), поэтому обозначим его как \(y\). Длина вектора \(\mathbf{b}\) будет зависеть от значения \(y\).

\[\|\mathbf{b}\| = \sqrt{{3}^2 + {y}^2} = \sqrt{9 + y^2}\]

Теперь можем рассчитать косинус угла \(\theta\) между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Подставим найденные значения в формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}} = \frac{{4 \cdot 3 + (-7) \cdot y}}{{\sqrt{65} \cdot \sqrt{9 + y^2}}}\]

Разберемся теперь с прямым и тупым углами. Прямой угол означает, что косинус угла равен нулю, а тупой угол - косинус отрицателен.

a) Острый угол: Для острого угла косинус должен быть больше нуля.
\(\cos(\theta) > 0\) или \(\frac{{4 \cdot 3 + (-7) \cdot y}}{{\sqrt{65} \cdot \sqrt{9 + y^2}}} > 0\).
Мы можем умножить обе части неравенства на \(\sqrt{65} \cdot \sqrt{9 + y^2}\), но у нас 2 случая:

1. Когда \(\sqrt{65} > 0\) и \(\sqrt{9 + y^2} > 0\).
В этом случае неравенство сохранится без изменений:
\(4 \cdot 3 + (-7) \cdot y > 0\).
Вычислим это выражение:
\(12 - 7y > 0\).
Для решения этого неравенства нужно учесть знаки:
\(y < \frac{12}{7}\).

2. Когда \(\sqrt{65} < 0\) и \(\sqrt{9 + y^2} < 0\).
В этом случае мы должны изменить знак неравенства:
\(4 \cdot 3 + (-7) \cdot y < 0\).
Вычислим это выражение:
\(12 - 7y < 0\).
Для решения этого неравенства нужно учесть знаки:
\(y > \frac{12}{7}\).
В итоге, острый угол достигается при \(y < \frac{12}{7}\) и \(y > \frac{12}{7}\).

б) Прямой угол: Для прямого угла косинус должен быть равен нулю.
\(\cos(\theta) = 0\) или \(\frac{{4 \cdot 3 + (-7) \cdot y}}{{\sqrt{65} \cdot \sqrt{9 + y^2}}} = 0\).
Решим это уравнение:
\(4 \cdot 3 + (-7) \cdot y = 0\).
\(12 - 7y = 0\).
Решим это уравнение относительно \(y\):
\(7y = 12\).
\(y = \frac{12}{7}\).
Получается, прямой угол достигается при \(y = \frac{12}{7}\).

в) Тупой угол: Для тупого угла косинус должен быть отрицательным.
\(\cos(\theta) < 0\) or \(\frac{{4 \cdot 3 + (-7) \cdot y}}{{\sqrt{65} \cdot \sqrt{9 + y^2}}} < 0\).
Рассмотрим два случая с учетом знаков корней:

1. Когда \(\sqrt{65} > 0\) и \(\sqrt{9 + y^2} < 0\).
В этом случае мы должны изменить знак неравенства:
\(4 \cdot 3 + (-7) \cdot y < 0\).
Вычислим это выражение:
\(12 - 7y < 0\).
Для решения этого неравенства нужно учесть знаки:
\(y > \frac{12}{7}\).

2. Когда \(\sqrt{65} < 0\) и \(\sqrt{9 + y^2} > 0\).
В этом случае неравенство сохранится без изменений:
\(4 \cdot 3 + (-7) \cdot y < 0\).
Вычислим это выражение:
\(12 - 7y < 0\).
Для решения этого неравенства нужно учесть знаки:
\(y > \frac{12}{7}\).
Итак, тупой угол достигается при \(y > \frac{12}{7}\).

Итак, у нас получились следующие интервалы значений угла \(\theta\) для каждого типа угла:

а) Острый угол: \(y < \frac{12}{7}\) или \(y > \frac{12}{7}\).
б) Прямой угол: \(y = \frac{12}{7}\).
в) Тупой угол: \(y > \frac{12}{7}\).