При каком отношении радиуса к высоте цилиндра боковой поверхность цилиндра будет квадрат?

Yarost

17

Чтобы найти отношение радиуса к высоте, при котором боковая поверхность цилиндра будет квадратом, нам нужно сначала определить формулу боковой поверхности цилиндра и приравнять ее к формуле площади квадрата.

Формула боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок} = 2\pi rh\), где \(r\) - радиус цилиндра, а \(h\) - его высота.

Формула площади квадрата: \(S_{кв} = a^2\), где \(a\) - длина стороны квадрата.

Поскольку мы хотим, чтобы боковая поверхность цилиндра была квадратом, приравняем формулы:

\[2\pi rh = a^2\]

Чтобы найти отношение радиуса к высоте, избавимся от неизвестного \(a\). Для этого предположим, что сторона квадрата равна единице, \(a = 1\).

Тогда у нас получается:

\[2\pi rh = 1\]

Теперь давайте найдем отношение радиуса к высоте, выражая радиус через высоту. Разделим обе части уравнения на \(2\pi h\):

\[r = \frac{1}{{2\pi h}}\]

Таким образом, отношение радиуса к высоте цилиндра, при котором боковая поверхность будет квадратом, равно \(\frac{1}{{2\pi h}}\).

Для подтверждения решения, мы также можем рассмотреть пример. Например, предположим, у нас есть цилиндр с высотой 2 и радиусом 1. Подставим значения в наше выражение:

\[r = \frac{1}{{2\pi \cdot 2}} = \frac{1}{{4\pi}}\]

Мы видим, что отношение радиуса к высоте равно \(\frac{1}{{4\pi}}\), и боковая поверхность этого цилиндра будет действительно квадратом.

Таким образом, при отношении радиуса к высоте цилиндра, равном \(\frac{1}{{2\pi h}}\), боковая поверхность цилиндра будет квадратом.