При каком значении a точка D (a + 1; 2a - 3) будет лежать на кривой уравнения 4x2

Музыкальный_Эльф

37

У нас есть кривая, заданная уравнением \(4x^2\), и нам нужно найти значение параметра \(a\), при котором точка \(D\) будет лежать на этой кривой.

Точка \(D\) имеет координаты \((a + 1, 2a - 3)\). Чтобы проверить, лежит ли эта точка на кривой, мы должны заменить координаты \(x\) и \(y\) точки \(D\) в уравнение и убедиться, что уравнение выполняется.

Подставим значения точки \(D\) и увидим, что у нас получается следующее:

\[4(a+1)^2\]

Давайте разложим это выражение, чтобы упростить его. Умножаем каждое слагаемое внутри скобок:

\[4(a^2 + 2a + 1)\]

Теперь умножаем полученное выражение на 4:

\[4a^2 + 8a + 4\]

Мы должны убедиться, что эта формула равна \(4x^2\). Таким образом, нам нужно сравнить коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Сравнивая коэффициенты, получаем следующее уравнение:

\[4a^2 + 8a + 4 = 4x^2\]

Теперь у нас есть уравнение, и мы можем решить его.

Чтобы упростить задачу, сократим оба выражения на 4:

\[a^2 + 2a + 1 = x^2\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Давайте преобразуем его, чтобы найти значения \(a\).

Вычитаем \(x^2\) из обоих выражений:

\[a^2 + 2a + 1 - x^2 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение \(a^2 + 2a + 1 - x^2 = 0\). Теперь можем решить его, используя формулу дискриминанта и решение квадратного уравнения.

Для этого сначала найдем дискриминант. Дискриминант \(D\) для этого уравнения равен:

\[D = (2)^2 - 4(1)(1-x^2)\]

Упростим это:

\[D = 4 - 4(1-x^2)\]

Раскроем скобки:

\[D = 4 - 4 + 4x^2\]

Упростим еще раз:

\[D = 4x^2\]

Теперь у нас есть значение дискриминанта \(D = 4x^2\).

Используем формулу дискриминанта для нахождения \(a\):

\[a = \frac{-2 \pm \sqrt{D}}{2}\]

Подставим значение \(D = 4x^2\):

\[a = \frac{-2 \pm \sqrt{4x^2}}{2}\]

Упростим:

\[a = \frac{-2 \pm 2x}{2}\]

Разделим числитель и знаменатель на 2:

\[a = -1 \pm x\]

Таким образом, получаем два значения \(a\): \(a = -1 + x\) и \(a = -1 - x\).

При любом из этих значений точка \(D\) будет лежать на кривой \(4x^2\).

Надеюсь, это решение понятно и полезно!