Какова ковариация между случайными величинами Х и Y, если Х выбирается случайным образом из множества целых чисел

Луна_В_Очереди

7

Для начала, давайте разберемся с определением ковариации. Ковариация – это мера линейной зависимости между двумя случайными величинами. Она показывает, насколько две случайные величины меняются вместе.

В данном случае у нас есть две случайные величины Х и Y. Х выбирается случайным образом из множества целых чисел {1, 2, 3}, а Y также выбирается из того же множества и больше или равно Х.

Чтобы вычислить ковариацию, нам необходимо знать:

1. Среднее значение двух величин (Математическое ожидание).
2. Разницу между значением каждой величины и ее средним значением.

Найдем среднее значение каждой случайной величины:
Математическое ожидание X:
\[E(X) = \frac{1+2+3}{3} = 2\]

Математическое ожидание Y:
Так как Y выбирается из множества целых чисел {1, 2, 3} и должно быть больше или равно X, то возможные значения Y, соответствующие каждому значению X, будут следующими:
- Если X = 1, то Y может быть только 2 или 3.
- Если X = 2, то Y может быть только 2 или 3.
- Если X = 3, то Y может быть только 3.

Теперь найдем среднее значение для Y, учитывая все возможные случаи:
\[E(Y) = \frac{2+2+3+3+3}{5} = \frac{13}{5} = 2.6\]

Итак, мы получили средние значения обеих случайных величин:
Среднее значение X: 2
Среднее значение Y: 2.6

Теперь нам необходимо найти разницу между каждым значением X и его средним значением, а также разницу между каждым значением Y и его средним значением.

Разница для X:
- Если X = 1: \(1 - 2 = -1\)
- Если X = 2: \(2 - 2 = 0\)
- Если X = 3: \(3 - 2 = 1\)

Разница для Y:
- Если Y = 2: \(2 - 2.6 = -0.6\)
- Если Y = 3: \(3 - 2.6 = 0.4\)

Теперь умножим каждую разницу между X и его средним значением на соответствующую разницу между Y и ее средним значением и найдем сумму этих произведений:
\[\text{Ковариация} = (-1 \cdot -0.6) + (0 \cdot -0.6) + (1 \cdot 0.4) = 0.2\]

Таким образом, ковариация между случайными величинами X и Y равна 0.2.