При каком значении k векторы a (2, -6, 8) и b (-1, k, -4) будут 1) параллельными 2) ортогональными?

Korova

48

Для того чтобы определить, при каком значении \(k\) векторы \(a(2, -6, 8)\) и \(b(-1, k, -4)\) будут параллельными или ортогональными, мы можем использовать свойства скалярного произведения.

1) Чтобы векторы были параллельными, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\):

\[
a \cdot b = (2 \cdot -1) + (-6 \cdot k) + (8 \cdot -4) = -2 - 6k - 32 = -34 - 6k
\]

Теперь, чтобы найти значение \(k\), при котором векторы \(a\) и \(b\) будут параллельными, мы должны приравнять скалярное произведение к нулю:

\[
-34 - 6k = 0
\]

Решаем уравнение:

\[
-6k = 34
\]

\[
k = \frac{34}{-6} = -\frac{17}{3}
\]

Таким образом, векторы \(a(2, -6, 8)\) и \(b(-1, -\frac{17}{3}, -4)\) будут параллельными при \(k = -\frac{17}{3}\).

2) Чтобы векторы были ортогональными, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Снова найдем скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\):

\[
a \cdot b = (2 \cdot -1) + (-6 \cdot k) + (8 \cdot -4) = -2 - 6k - 32 = -34 - 6k
\]

Теперь, чтобы найти значение \(k\), при котором векторы \(a\) и \(b\) будут ортогональными, мы должны приравнять скалярное произведение к нулю:

\[
-34 - 6k = 0
\]

Решаем уравнение:

\[
-6k = 34
\]

\[
k = \frac{34}{-6} = -\frac{17}{3}
\]

Таким образом, векторы \(a(2, -6, 8)\) и \(b(-1, -\frac{17}{3}, -4)\) будут ортогональными при \(k = -\frac{17}{3}\).

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять, при каком значении \(k\) векторы \(a\) и \(b\) будут параллельными или ортогональными. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их!