При каком значении m плоскость, проходящая через точки Q(1; 1; 2), R(–1; 2; 1), S(2; –3; –8), будет ортогональна

Андрей

28

Чтобы определить при каком значении \(m\) плоскость, проходящая через точки \(Q(1; 1; 2)\), \(R(-1; 2; 1)\) и \(S(2; -3; -8)\), будет ортогональна плоскости \(x + my - z = 0\), давайте воспользуемся свойством ортогональности двух плоскостей.

Две плоскости ортогональны, если вектор нормали первой плоскости перпендикулярен вектору нормали второй плоскости. Вектор нормали плоскости \(x + my - z = 0\) будет равен \(\vec{n_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ m \\ -1 \end{bmatrix}\).

Теперь нам нужно найти векторы \(\vec{QR}\) и \(\vec{QS}\) для плоскости, проходящей через точки \(Q\), \(R\) и \(S\). Вектор \(\vec{QR}\) можно получить, вычислив разность координат между точками \(Q\) и \(R\):

\[\vec{QR} = \begin{bmatrix} -1 - 1 \\ 2 - 1 \\ 1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

Аналогично, вектор \(\vec{QS}\) можно получить, вычислив разность координат между точками \(Q\) и \(S\):

\[\vec{QS} = \begin{bmatrix} 2 - 1 \\ -3 - 1 \\ -8 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -10 \end{bmatrix}\]

Теперь мы можем проверить ортогональность плоскостей, проверив, перпендикулярны ли векторы нормали плоскости \(x + my - z = 0\) и \(\vec{QR}\), а также векторы нормали плоскости \(x + my - z = 0\) и \(\vec{QS}\).

Если векторы нормали перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. Проверим это для вектора \(\vec{n_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ m \\ -1 \end{bmatrix}\) и вектора \(\vec{QR} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\):

\[\vec{n_1} \cdot \vec{QR} = \begin{bmatrix} 1 \\ m \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = (-2)(1) + (m)(1) + (-1)(-1) = -2 + m - 1 = m - 3\]

Аналогично, проверим ортогональность вектора \(\vec{n_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ m \\ -1 \end{bmatrix}\) и вектора \(\vec{QS} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -10 \end{bmatrix}\):

\[\vec{n_1} \cdot \vec{QS} = \begin{bmatrix} 1 \\ m \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -10 \end{bmatrix} = (1)(1) + (m)(-4) + (-1)(-10) = 1 - 4m - (-10) = 11 - 4m\]

Теперь, чтобы определить при каком значении \(m\) плоскость будет ортогональна плоскости \(x + my - z = 0\), мы должны приравнять скалярные произведения к нулю:

\[m - 3 = 0\]
\[11 - 4m = 0\]

Решим эти уравнения:

\[m = 3\]
\[4m = 11 \Rightarrow m = \frac{11}{4}\]

Таким образом, плоскость, проходящая через точки \(Q(1; 1; 2)\), \(R(-1; 2; 1)\) и \(S(2; -3; -8)\), будет ортогональна плоскости \(x + my - z = 0\) при значениях \(m = 3\) и \(m = \frac{11}{4}\).