Каково значение sin(a+b), если cos a равно -7/25 и cos b равно -12/13?

Zagadochnyy_Zamok

11

Хорошо, для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу тригонометрии, которая гласит:

\[\sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b\]

Перед тем, как продолжить, выразим \(\sin a\) и \(\sin b\) из заданных условий.

Известно, что \(\cos a = -\frac{7}{25}\).
Воспользуемся формулой \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), чтобы найти \(\sin a\):

\(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\)

\(\sin^2 a = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2\)

\(\sin^2 a = 1 - \frac{49}{625}\)

\(\sin^2 a = \frac{576}{625}\)

\(\sin a = \pm \frac{24}{25}\)

Теперь рассмотрим \(\cos b = -\frac{12}{13}\):

\(\sin^2 b + \cos^2 b = 1\)

\(\sin^2 b = 1 - \cos^2 b\)

\(\sin^2 b = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2\)

\(\sin^2 b = 1 - \frac{144}{169}\)

\(\sin^2 b = \frac{25}{169}\)

\(\sin b = \pm \frac{5}{13}\)

Далее вставим найденные значения \(\sin a\), \(\sin b\), \(\cos a\), и \(\cos b\) в формулу \(\sin(a+b)\):

\(\sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b\)

\(\sin(a+b) = \pm \left(\frac{24}{25}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) + \left(-\frac{7}{25}\right) \cdot \left(\pm \frac{5}{13}\right)\)

Сначала мы рассмотрим положительные значения:

\(\sin(a+b) = -\frac{288}{325} - \frac{35}{325}\)

\(\sin(a+b) = -\frac{323}{325}\)

И теперь отрицательные значения:

\(\sin(a+b) = \frac{288}{325} + \frac{35}{325}\)

\(\sin(a+b) = \frac{323}{325}\)

Таким образом, значение \(\sin(a+b)\) может быть либо -\(\frac{323}{325}\), либо \(\frac{323}{325}\), в зависимости от значений \(\sin a\) и \(\sin b\).