При каком значении переменной d угол между векторами m и n составляет 45 градусов, если m имеет координаты {1;4

Лапка_6067

4

Чтобы найти значение переменной d, при котором угол между векторами m и n составляет 45 градусов, нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами.

Для начала, найдем длины векторов m и n.

Длина вектора m вычисляется по формуле:
\[ |m| = \sqrt{{x_m}^2 + {y_m}^2} \]

Где x_m и y_m - координаты вектора m. В данной задаче координаты вектора m равны {1;4}, поэтому:
\[
|m| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]

Аналогично, найдем длину вектора n:
\[
|n| = \sqrt{{x_n}^2 + {y_n}^2}
\]
Где x_n и y_n - координаты вектора n. В данной задаче координаты вектора n равны {d;3}, поэтому:
\[
|n| = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{d^2 + 9}
\]

Затем, нам нужно найти произведение длин векторов m и n:
\[
|m| \cdot |n| = \sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9} = \sqrt{17(d^2 + 9)}
\]

Используя формулу для косинуса угла между векторами, получаем:
\[
\cos{\theta} = \frac{{m \cdot n}}{{|m| \cdot |n|}} = \frac{{1 \cdot d + 4 \cdot 3}}{{\sqrt{17(d^2 + 9)}}}
\]

Понятно, что угол между векторами m и n будет 45 градусов, если \(\cos{\theta} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\), т.к. \(\cos{45} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\).

Подставив значения в уравнение, получаем:
\[
\frac{{1 + 12}}{{\sqrt{17(d^2 + 9)}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}
\]

Решим это уравнение относительно d.

\[
\frac{{13}}{{\sqrt{17(d^2 + 9)}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}
\]

Умножим оба выражения на \(\sqrt{17(d^2 + 9)}\).

\[
\sqrt{17(d^2 + 9)} = \frac{{13}}{{\sqrt{2}}}
\]

Возводим обе части уравнения в квадрат.

\[
17(d^2 + 9) = \left(\frac{{13}}{{\sqrt{2}}}\right)^2
\]

\[
17(d^2 + 9) = \frac{{169}}{{2}}
\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение.

\[
17d^2 + 17\cdot 9 = \frac{{169}}{{2}}
\]

\[
17d^2 + 153 = \frac{{169}}{{2}}
\]

Переносим все слагаемые в одну сторону.

\[
17d^2 = \frac{{169}}{{2}} - 153
\]

\[
17d^2 = \frac{{169 - 306}}{{2}}
\]

\[
17d^2 = \frac{{-137}}{{2}}
\]

\[
d^2 = \frac{{-137}}{{34}}
\]

Коэффициент перед \(d^2\) отрицательный, что говорит нам о том, что значение d будет комплексным числом. В данной задаче, где речь идет о векторах с координатами в пространстве, нам необходимо рассматривать только действительные значения. И потому, мы можем сделать вывод, что угол между векторами m и n не может составлять 45 градусов для любого значения переменной d.