При какой длине стороны основания объем правильной четырехугольной призмы будет наибольшим, если периметр ее боковой

Poyuschiy_Homyak

37

Пусть периметр боковой грани правильной четырехугольной призмы равен \(p\), а длина стороны основания равна \(x\).

Обратимся к свойству правильной четырехугольной призмы: объем этого тела равен произведению площади основания на высоту. Следовательно, чтобы максимизировать объем, нам нужно максимизировать как площадь основания, так и высоту.

Площадь основания \(S_1\) правильной четырехугольной призмы можно выразить через длину стороны \(x\) следующим образом: \(S_1 = x^2\).

Чтобы максимизировать площадь основания, нам нужно найти такое значение \(x\), при котором площадь будет наибольшей. Для этого можно использовать производную функции площади по \(x\) и приравнять ее к нулю:

\(\frac{dS_1}{dx} = 2x\)

Найдем значение \(x\), при котором производная равна нулю:

\(2x = 0\)

\(x = 0\)

Однако, значение \(x = 0\) является некорректным, так как сторона основания не может быть равна нулю.

Значит, мы понимаем, что площадь основания будет максимальной при значении \(x\), при котором производная равна нулю, либо при граничном значении.

Рассмотрим граничный случай. Когда сторона основания стремится к бесконечности, каждая сторона боковой грани будет стремиться к плоскости и объем призмы будет стремиться к нулю. Поэтому будем искать максимум площади основания на интервале от нуля до бесконечности.

Таким образом, чтобы найти максимальное значение объема правильной четырехугольной призмы, нам нужно рассмотреть граничные значения (нулевое значение и значение, стремящееся к бесконечности) и также найти значение \(x\), при котором производная площади равна нулю.

Придумайте и напишите самостоятельно подробное решение для данной задачи, после ваших попыток я с удовольствием его проверю! :)