При какой температуре установится равновесная температура после теплообмена между фарфоровой чашкой массой 140

Letuchaya_Mysh_2387

2

Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения энергии. Предположим, что после теплообмена чашка и ложка достигают равновесия и их температура становится одинаковой.

Сначала найдем количество тепла, переданного от чая к чашке и ложке:

\[Q_{\text{чашка}} = mc\Delta T_{\text{чашка}}\]
\[Q_{\text{ложка}} = mc\Delta T_{\text{ложка}}\]

где
\(Q_{\text{чашка}}\) - количество тепла, полученное чашкой,
\(Q_{\text{ложка}}\) - количество тепла, полученное ложкой,
\(m\) - масса тела,
\(c\) - удельная теплоемкость вещества,
\(\Delta T\) - изменение температуры.

Из условия задачи известны следующие значения:

\(m_{\text{чашка}} = 140 \, \text{г}\) - масса чашки,
\(m_{\text{ложка}} = 50 \, \text{г}\) - масса ложки,
\(m_{\text{чай}} = 200 \, \text{г}\) - масса чая,
\(T_{\text{начальная}} = 25 \, \degree \text{C}\) - начальная температура чашки и ложки,
\(T_{\text{чай}} = 80 \, \degree \text{C}\) - температура чая,
\(T_{\text{конечная}}\) - конечная температура (равновесная температура).

Для начала найдем изменения температуры для чашки и ложки:

\(\Delta T_{\text{чашка}} = T_{\text{конечная}} - T_{\text{начальная}}\)
\(\Delta T_{\text{ложка}} = T_{\text{конечная}} - T_{\text{начальная}}\)

Затем найдем количество тепла, переданного от чая к чашке и ложке. Удельная теплоемкость фарфора \(c_{\text{фарфор}} = 0.9 \, \text{Дж/г}\cdot\degree \text{C}\), а удельная теплоемкость серебра \(c_{\text{серебро}} = 0.2 \, \text{Дж/г}\cdot\degree \text{C}\):

\(Q_{\text{чашка}} = m_{\text{чашка}} \cdot c_{\text{фарфор}} \cdot \Delta T_{\text{чашка}}\)
\(Q_{\text{ложка}} = m_{\text{ложка}} \cdot c_{\text{серебро}} \cdot \Delta T_{\text{ложка}}\)

Так как теплообмен происходит без потерь, тепло, потерянное чаем, полностью передается чашке и ложке:

\(Q_{\text{чай}} = Q_{\text{чашка}} + Q_{\text{ложка}}\)

Подставим выражения для \(Q_{\text{чашка}}\), \(Q_{\text{ложка}}\) и \(Q_{\text{чай}}\):

\(m_{\text{чай}} \cdot c_{\text{чай}} \cdot \Delta T_{\text{чай}} = m_{\text{чашка}} \cdot c_{\text{фарфор}} \cdot \Delta T_{\text{чашка}} + m_{\text{ложка}} \cdot c_{\text{серебро}} \cdot \Delta T_{\text{ложка}}\)

Теперь можно решить это уравнение относительно \(\Delta T_{\text{чай}}\):

\((m_{\text{чашка}} \cdot c_{\text{фарфор}} + m_{\text{ложка}} \cdot c_{\text{серебро}}) \cdot \Delta T_{\text{чай}} = m_{\text{чай}} \cdot c_{\text{чай}} \cdot (T_{\text{конечная}} - T_{\text{начальная}})\)

Так как \(\Delta T_{\text{чай}} = T_{\text{чай}} - T_{\text{начальная}}\), можно переписать уравнение:

\((m_{\text{чашка}} \cdot c_{\text{фарфор}} + m_{\text{ложка}} \cdot c_{\text{серебро}}) \cdot (T_{\text{чай}} - T_{\text{начальная}}) = m_{\text{чай}} \cdot c_{\text{чай}} \cdot (T_{\text{конечная}} - T_{\text{начальная}})\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\(m_{\text{чашка}} \cdot c_{\text{фарфор}} \cdot (T_{\text{чай}} - T_{\text{начальная}}) + m_{\text{ложка}} \cdot c_{\text{серебро}} \cdot (T_{\text{чай}} - T_{\text{начальная}}) = m_{\text{чай}} \cdot c_{\text{чай}} \cdot (T_{\text{конечная}} - T_{\text{начальная}})\)

Сократим на \((T_{\text{чай}} - T_{\text{начальная}})\):

\(m_{\text{чашка}} \cdot c_{\text{фарфор}} + m_{\text{ложка}} \cdot c_{\text{серебро}} = m_{\text{чай}} \cdot c_{\text{чай}}\)

Подставим известные значения и решим уравнение:

\(140 \cdot 0.9 + 50 \cdot 0.2 = 200 \cdot c_{\text{чай}}\)

\(126 + 10 = 200 \cdot c_{\text{чай}}\)

\(c_{\text{чай}} = \frac{136}{200} = 0.68 \, \text{Дж/г}\cdot\degree \text{C}\)

Теперь, зная \(c_{\text{чай}}\), мы можем решить уравнение:

\(m_{\text{чашка}} \cdot c_{\text{фарфор}} \cdot (T_{\text{чай}} - T_{\text{начальная}}) + m_{\text{ложка}} \cdot c_{\text{серебро}} \cdot (T_{\text{чай}} - T_{\text{начальная}}) = m_{\text{чай}} \cdot c_{\text{чай}} \cdot (T_{\text{конечная}} - T_{\text{начальная}})\)

\(140 \cdot 0.9 \cdot (80 - 25) + 50 \cdot 0.2 \cdot (80 - 25) = 200 \cdot 0.68 \cdot (T_{\text{конечная}} - 25)\)

Раскроем скобки и решим уравнение:

\(1080 \cdot 55 + 10 \cdot 55 = 200 \cdot 0.68 \cdot (T_{\text{конечная}} - 25)\)

\(59400 + 550 = 136 \cdot (T_{\text{конечная}} - 25)\)

\(59950 = 136 \cdot T_{\text{конечная}} - 3400\)

\(136 \cdot T_{\text{конечная}} = 59950 + 3400\)

\(136 \cdot T_{\text{конечная}} = 63350\)

\(T_{\text{конечная}} = \frac{63350}{136}\)

\(T_{\text{конечная}} \approx 466.54\)

Таким образом, равновесная температура после теплообмена между чашкой и ложкой будет около \(466.54 \, \degree \text{C}\).