При какой температуре установится равновесная температура после теплообмена между фарфоровой чашкой массой 140

Letuchaya_Mysh_2387

2

Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения энергии. Предположим, что после теплообмена чашка и ложка достигают равновесия и их температура становится одинаковой.

Сначала найдем количество тепла, переданного от чая к чашке и ложке:

$$Q_{\text{чашка}}=mc\mathrm{\Delta }{T}_{\text{чашка}}$$
$$Q_{\text{ложка}}=mc\mathrm{\Delta }{T}_{\text{ложка}}$$

где
$Q_{\text{чашка}}$ - количество тепла, полученное чашкой,
$Q_{\text{ложка}}$ - количество тепла, полученное ложкой,
$m$ - масса тела,
$c$ - удельная теплоемкость вещества,
$\mathrm{\Delta }T$ - изменение температуры.

Из условия задачи известны следующие значения:

$m_{\text{чашка}}=140\text{г}$ - масса чашки,
$m_{\text{ложка}}=50\text{г}$ - масса ложки,
$m_{\text{чай}}=200\text{г}$ - масса чая,
$T_{\text{начальная}}=25\text{degree}\text{C}$ - начальная температура чашки и ложки,
$T_{\text{чай}}=80\text{degree}\text{C}$ - температура чая,
$T_{\text{конечная}}$ - конечная температура (равновесная температура).

Для начала найдем изменения температуры для чашки и ложки:

$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{чашка}}=T_{\text{конечная}}-T_{\text{начальная}}$
$\mathrm{\Delta }{T}_{\text{ложка}}=T_{\text{конечная}}-T_{\text{начальная}}$

Затем найдем количество тепла, переданного от чая к чашке и ложке. Удельная теплоемкость фарфора $c_{\text{фарфор}}=0.9\text{Дж/г}\cdot \text{degree}\text{C}$, а удельная теплоемкость серебра $c_{\text{серебро}}=0.2\text{Дж/г}\cdot \text{degree}\text{C}$:

$Q_{\text{чашка}}=m_{\text{чашка}}\cdot c_{\text{фарфор}}\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{\text{чашка}}$
$Q_{\text{ложка}}=m_{\text{ложка}}\cdot c_{\text{серебро}}\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{\text{ложка}}$

Так как теплообмен происходит без потерь, тепло, потерянное чаем, полностью передается чашке и ложке:

$Q_{\text{чай}}=Q_{\text{чашка}}+Q_{\text{ложка}}$

Подставим выражения для $Q_{\text{чашка}}$, $Q_{\text{ложка}}$ и $Q_{\text{чай}}$:

$m_{\text{чай}}\cdot c_{\text{чай}}\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{\text{чай}}=m_{\text{чашка}}\cdot c_{\text{фарфор}}\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{\text{чашка}}+m_{\text{ложка}}\cdot c_{\text{серебро}}\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{\text{ложка}}$

Теперь можно решить это уравнение относительно $\mathrm{\Delta }{T}_{\text{чай}}$:

$(m_{\text{чашка}}\cdot c_{\text{фарфор}}+m_{\text{ложка}}\cdot c_{\text{серебро}})\cdot \mathrm{\Delta }{T}_{\text{чай}}=m_{\text{чай}}\cdot c_{\text{чай}}\cdot (T_{\text{конечная}}-T_{\text{начальная}})$

Так как $\mathrm{\Delta }{T}_{\text{чай}}=T_{\text{чай}}-T_{\text{начальная}}$, можно переписать уравнение:

$(m_{\text{чашка}}\cdot c_{\text{фарфор}}+m_{\text{ложка}}\cdot c_{\text{серебро}})\cdot (T_{\text{чай}}-T_{\text{начальная}})=m_{\text{чай}}\cdot c_{\text{чай}}\cdot (T_{\text{конечная}}-T_{\text{начальная}})$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$m_{\text{чашка}}\cdot c_{\text{фарфор}}\cdot (T_{\text{чай}}-T_{\text{начальная}})+m_{\text{ложка}}\cdot c_{\text{серебро}}\cdot (T_{\text{чай}}-T_{\text{начальная}})=m_{\text{чай}}\cdot c_{\text{чай}}\cdot (T_{\text{конечная}}-T_{\text{начальная}})$

Сократим на $(T_{\text{чай}}-T_{\text{начальная}})$:

$m_{\text{чашка}}\cdot c_{\text{фарфор}}+m_{\text{ложка}}\cdot c_{\text{серебро}}=m_{\text{чай}}\cdot c_{\text{чай}}$

Подставим известные значения и решим уравнение:

$140\cdot 0.9+50\cdot 0.2=200\cdot c_{\text{чай}}$

$126+10=200\cdot c_{\text{чай}}$

$c_{\text{чай}}=\frac{136}{200}=0.68\text{Дж/г}\cdot \text{degree}\text{C}$

Теперь, зная $c_{\text{чай}}$, мы можем решить уравнение:

$m_{\text{чашка}}\cdot c_{\text{фарфор}}\cdot (T_{\text{чай}}-T_{\text{начальная}})+m_{\text{ложка}}\cdot c_{\text{серебро}}\cdot (T_{\text{чай}}-T_{\text{начальная}})=m_{\text{чай}}\cdot c_{\text{чай}}\cdot (T_{\text{конечная}}-T_{\text{начальная}})$

$140\cdot 0.9\cdot (80-25)+50\cdot 0.2\cdot (80-25)=200\cdot 0.68\cdot (T_{\text{конечная}}-25)$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$1080\cdot 55+10\cdot 55=200\cdot 0.68\cdot (T_{\text{конечная}}-25)$

$59400+550=136\cdot (T_{\text{конечная}}-25)$

$59950=136\cdot T_{\text{конечная}}-3400$

$136\cdot T_{\text{конечная}}=59950+3400$

$136\cdot T_{\text{конечная}}=63350$

$T_{\text{конечная}}=\frac{63350}{136}$

$T_{\text{конечная}}\approx 466.54$

Таким образом, равновесная температура после теплообмена между чашкой и ложкой будет около $466.54\text{degree}\text{C}$.