При какой угловой скорости w цепочка соскользнет с цилиндра? Цепочка из однородной кольцевой металлической цепочки

Зимний_Сон

68

Для решения задачи, мы можем использовать уравнение равновесия моментов сил. В данной задаче у нас есть две силы, действующие на цепочку: сила натяжения и сила трения скольжения. Обозначим массу цепочки как \(m\), радиус цилиндра как \(R\), коэффициент трения скольжения как \(k\), и угловую скорость как \(w\).

Момент силы трения скольжения равен произведению коэффициента трения на силу нормального давления, где сила нормального давления равна \(mg\) (масса цепочки, умноженная на ускорение свободного падения, \(g\)). Таким образом, момент силы трения равен \(kmgR\).

Момент силы натяжения цепочки равен произведению силы натяжения на радиус цилиндра: \(2NR\).

Уравнение равновесия моментов сил можно записать следующим образом:

\[kmgR = 2NR\]

Делим обе части уравнения на \(R\) и \(N\):

\[kmgl = 2N\]

Теперь выразим силу натяжения \(N\) через массу цепочки \(m\) и ускорение свободного падения \(g\):

\[N = mg\]

Подставим это значение в уравнение:

\[kmgl = 2mg\]

Делим обе части уравнения на \(mg\):

\[kl = 2\]

Из этого уравнения выражаем коэффициент трения \(k\):

\[k = \frac{2}{l}\]

Теперь мы можем найти угловую скорость \(w\). Угловая скорость связана с линейной скоростью \(v\) и радиусом цилиндра \(R\) следующим образом:

\[w = \frac{v}{R}\]

Линейная скорость \(v\) равна произведению радиуса на угловую скорость:

\[v = R \cdot w\]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[kl = 2m(R \cdot w)^2\]

Разрешим уравнение относительно угловой скорости \(w\):

\[w = \sqrt{\frac{kl}{2mR^2}}\]

Теперь мы можем подставить численные значения в это выражение и найти угловую скорость, при которой цепочка соскользнет с цилиндра.