При разматывании веревки и вращении вала ворот без скольжения, ведро опускается в колодец с ускорением 1 м/с². Какое

Станислав

43

Для решения этой задачи мы можем использовать законы динамики и кинематики. Давайте начнем с определения углового ускорения (ε) вала ворот.

Угловое ускорение (ε) связано с линейным ускорением (a) через радиус вала (r) соотношением ε = a/r. В данной задаче у нас есть линейное ускорение (a) ведра, которое равно 1 м/с². Однако, нам неизвестен радиус вала, поэтому давайте обозначим его через \( R \).

У нас также есть информация о движении ведра. При разматывании веревки и вращении вала ворот без скольжения, ведро будет падать в колодец с постоянным ускорением 1 м/с². Мы можем использовать формулу из кинематики для вертикального движения, где ускорение (a) равно 1 м/с², начальная скорость (v₀) равна 0 (ведро спускается с покоя) и пройденное расстояние (h) равно 10 метрам:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \]

где \( t \) - время падения или время, за которое ведро опускается на глубину 10 метров.

Решим это уравнение относительно \( t \):

\[ 10 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot t^2 \]

\[ t^2 = 20 \]

\[ t = \sqrt{20} \approx 4.472 \, \text{сек} \]

Теперь у нас есть значение времени падения (\( t \)), а мы можем использовать его для определения количества оборотов вала ворот за это время.

Построим связь между линейным перемещением (s) и угловым перемещением (θ) через радиус вала (R):

\[ s = R \cdot \theta \]

Мы знаем, что линейное перемещение (s) равно 10 метрам, так как ведро опускается на глубину 10 метров. Подставив это значение, а также выражение для линейного перемещения через угловое перемещение, мы получим:

\[ 10 = R \cdot \theta \]

Мы также знаем, что время падения (\( t \)) связано с угловым перемещением через угловую скорость (\( \omega \)) следующим образом: \( \theta = \omega \cdot t \).

Подставим эту связь в уравнение для линейного перемещения:

\[ 10 = R \cdot \omega \cdot t \]

Теперь у нас есть формула, связывающая время падения (\( t \)) с угловой скоростью (\( \omega \)) и радиусом вала (R), но нам необходимо найти угловое ускорение (ε). Мы можем использовать еще одно уравнение, связывающее угловую скорость (\( \omega \)) и угловое ускорение (ε): \( \omega = \epsilon \cdot t \).

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

\[ 10 = R \cdot \epsilon \cdot t^2 \]

\[ 10 = R \cdot \epsilon \cdot 20 \]

\[ \epsilon = \frac{10}{20R} \]

Теперь мы можем выразить угловое ускорение через радиус вала (R).

Для определения нормального (a_n), тангенциального (a_t) и полного (a) ускорений точки на ободе ворота, мы можем использовать следующие формулы:

\[ a_n = R \cdot \epsilon \]

\[ a_t = R \cdot \omega^2 \]

\[ a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2} \]

Подставляем значение углового ускорения (\( \epsilon \)) и угловой скорости (\( \omega \)) в эти формулы:

\[ a_n = R \cdot \frac{10}{20R} = \frac{1}{2} \, \text{м/с}^2 \]

\[ a_t = R \cdot \left(\frac{\theta}{t}\right)^2 = R \cdot \left(\frac{10}{\sqrt{20}}\right)^2 = \frac{100R}{20} = 5R \, \text{м/с}^2 \]

\[ a = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (5R)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 25R^2} = \sqrt{25R^2 + \frac{1}{4}} \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, угловое ускорение вала ворот (\( \epsilon \)) равно \( \frac{10}{20R} \), количество оборотов вала ворот за время падения ведра составляет \( \frac{10}{R} \), нормальное ускорение точки на ободе ворота (\( a_n \)) равно \( \frac{1}{2} \) м/с², тангенциальное ускорение точки на ободе ворота (\( a_t \)) равно \( 5R \) м/с², и полное ускорение точки на ободе ворота (\( a \)) равно \( \sqrt{25R^2 + \frac{1}{4}} \) м/с².