При условии, что ∣∣a→∣∣ = 24 и ∣∣∣b→∣∣∣ = 17, как может изменяться значение ∣∣∣a→+b→∣∣∣? Какое наименьшее и наибольшее

Пума_7773

69

Чтобы определить, как может изменяться значение длины вектора \(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\|\), нам необходимо рассмотреть все возможные комбинации направлений векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Поскольку длина каждого вектора уже известна, нам нужно узнать, как изменяются углы между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Пусть \(\theta\) будет углом между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Известно, что векторное сложение может быть представлено в виде:

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{{\|\|a\vec{}\|\|}^2+{\|\|b\vec{}\|\|}^2+2\|\|a\vec{}\|\|\|\|b\vec{}\|\|\cos{\theta}}\)

Подставляя известные значения \(\|\|a\vec{}\|\| = 24\) и \(\|\|b\vec{}\|\| = 17\), получаем:

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{24^2+17^2+2\cdot24\cdot17\cos{\theta}}\)

Теперь мы можем определить наименьшее и наибольшее значение длины вектора \(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\|\), рассматривая различные значения угла \(\theta\).

Наименьшее значение длины вектора будет, когда \(\cos{\theta}\) достигает своего наименьшего значения -1. В этом случае:

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{24^2+17^2+2\cdot24\cdot17\cdot(-1)}\)

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{576+289-816}\)

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{49}\)

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = 7\)

Таким образом, наименьшее значение длины вектора равно 7.

Наибольшее значение длины вектора будет, когда \(\cos{\theta}\) достигает своего наибольшего значения 1. В этом случае:

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{24^2+17^2+2\cdot24\cdot17\cdot1}\)

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{576+289+816}\)

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = \sqrt{1681}\)

\(\|\|a\vec{}+b\vec{}\|\| = 41\)

Таким образом, наибольшее значение длины вектора равно 41.

Следовательно, наименьшая длина вектора составляет 7, а наибольшая - 41.