Какая площадь сечения шара, если его радиус равен 4 см и плоскость проведена под углом 30 градусов к концу радиуса

Artemovna

20

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Построим схему для лучшего понимания задачи. Нарисуем сферу с радиусом 4 см и проведем радиус к точке пересечения с плоскостью.

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{Радиус} \\
\text{с фиксированной} \\
\text{точкой пересечения}
\end{array}
\end{array}
\]

2. Поскольку плоскость проведена под углом 30 градусов к радиусу, получим треугольник между радиусом, линией пересечения и плоскостью.

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{Треугольник} \\
\text{между радиусом,} \\
\text{линией пересечения} \\
\text{и плоскостью}
\end{array}
\end{array}
\]

3. Нам нужно вычислить высоту этого треугольника, так как она будет равна радиусу шара. Так как мы знаем угол между радиусом и плоскостью (30 градусов) и длину переднего ребра (4 см), мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для вычисления высоты треугольника.

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\sin(\text{угол}) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}
\end{array}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\sin(30^\circ) = \frac{{\text{высота}}}{{4}}
\end{array}
\end{array}
\]

Выразим высоту:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{высота} = 4 \times \sin(30^\circ)
\end{array}
\end{array}
\]

4. Посчитаем значение высоты:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{высота} = 4 \times \sin(30^\circ) = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \, \text{см}
\end{array}
\end{array}
\]

5. В итоге, площадь сечения шара будет площадью круга с радиусом, равным высоте треугольника. Поскольку высота равна 2 см, площадь сечения будет:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{площадь сечения} = \pi \times (\text{радиус})^2
\end{array}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{площадь сечения} = \pi \times (2)^2 = 4\pi \, \text{см}^2
\end{array}
\end{array}
\]

6. Ответ: Площадь сечения шара, если его радиус равен 4 см и плоскость проведена под углом 30 градусов к концу радиуса, лежащему на сфере, составляет \(4\pi\) квадратных сантиметра.