При якій температурі повітря, яке має початкову температуру 303 К, його об єм збільшиться вдвічі, залишаючи тиск газу

Мандарин

59

Данная задача связана с законами идеального газа и может быть решена с использованием уравнения состояния газа $PV=nRT$, где $P$ - давление газа, $V$ - его объем, $n$ - количество вещества газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура газа в абсолютной шкале.

Для решения задачи необходимо использовать два состояния газа - исходное и конечное, в которых известны объемы $V_1$ и $V_2$ соответственно, и температура $T_1$ известна, тогда температуру $T_2$ можно найти.

По условию задачи, образуя в начальном состоянии температуру в $303\text{K}$ и начальный объем в $V_1$, мы должны увеличить его вдвое и при этом сохранить давление неизменным.

Таким образом, мы имеем следующую систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}P{V}_1=nR{T}_1\\ P{V}_2=nR{T}_2\\ V_2=2V_1\\ P=\text{const}\end{array}$$

Так как состояние газа меняется при постоянном давлении, мы можем предположить, что количество вещества $n$ и универсальная газовая постоянная $R$ не изменятся.

Из первого уравнения системы мы можем выразить $\frac{P{V}_1}{T_1}$ и $\frac{P{V}_2}{T_2}$:

$$\frac{P{V}_1}{T_1}=\frac{P{V}_2}{T_2}$$

Также известно, что $V_2=2V_1$. Подставим данное значение в уравнение:

$$\frac{P(2V_1)}{T_1}=\frac{P{V}_2}{T_2}$$

Упростим:

$$2\frac{P}{T_1}{V}_1=\frac{P}{T_2}{V}_2$$

Так как $\frac{P}{T_1}$ и $\frac{P}{T_2}$ равны, умножим оба выражения на эти значения:

$$2\frac{P}{T_1}{V}_1\cdot \frac{P}{T_1}=\frac{P}{T_2}{V}_2\cdot \frac{P}{T_2}$$

Упростим:

$$2\frac{P^2{V}_1}{T_1^2}=\frac{P^2{V}_2}{T_2^2}$$

Так как $\frac{P^2}{T_1^2}$ и $\frac{P^2}{T_2^2}$ равны, умножим оба выражения на эти значения:

$$2\frac{P^2{V}_1}{T_1^2}\cdot \frac{P^2}{T_1^2}=\frac{P^2{V}_2}{T_2^2}\cdot \frac{P^2}{T_2^2}$$

Упростим:

$$2\frac{P^4{V}_1}{T_1^4}=\frac{P^4{V}_2}{T_2^4}$$

Заметим, что выражения $\frac{P^4{V}_1}{T_1^4}$ и $\frac{P^4{V}_2}{T_2^4}$ пропорциональны друг другу. То есть можно записать:

$$\frac{\frac{P^4{V}_1}{T_1^4}}{\frac{P^4{V}_2}{T_2^4}}=1$$

Подставим известные значения $V_2=2V_1$ и упростим выражение:

$$\frac{\frac{P^4{V}_1}{T_1^4}}{\frac{P^4(2V_1)}{T_2^4}}=1$$

$$\frac{T_2^4}{T_1^4}=\frac{P^4}{2P^4}$$

$$\frac{T_2^4}{T_1^4}=\frac{1}{2}$$

Теперь избавимся от степеней:

$$\frac{T_2}{T_1}=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$$

$$T_2=T_1\cdot \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$$

Таким образом, температура $T_2$ при которой объем воздуха увеличивается вдвое, при постоянном давлении, равна $T_1\cdot \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$.

Осталось только заменить значение температуры $T_1$ в выражении. В задаче указано, что начальная температура составляет $303\text{K}$, так что вместо $T_1$ подставим данное значение:

$$T_2=303\text{K}\cdot \sqrt[4]{\frac{1}{2}}$$

$$T_2\approx 238\text{K}$$

Ответ: Температура, при которой объем воздуха увеличивается вдвое, при постоянном давлении, составляет примерно $238\text{K}$.