При якій температурі повітря, яке має початкову температуру 303 К, його об єм збільшиться вдвічі, залишаючи тиск газу

Мандарин

59

Данная задача связана с законами идеального газа и может быть решена с использованием уравнения состояния газа \(PV = nRT\), где \(P\) - давление газа, \(V\) - его объем, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - температура газа в абсолютной шкале.

Для решения задачи необходимо использовать два состояния газа - исходное и конечное, в которых известны объемы \(V_1\) и \(V_2\) соответственно, и температура \(T_1\) известна, тогда температуру \(T_2\) можно найти.

По условию задачи, образуя в начальном состоянии температуру в \(303 \, \text{K}\) и начальный объем в \(V_1\), мы должны увеличить его вдвое и при этом сохранить давление неизменным.

Таким образом, мы имеем следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
PV_1 = nRT_1 \\
PV_2 = nRT_2 \\
V_2 = 2V_1 \\
P = \text{const}
\end{cases}
\]

Так как состояние газа меняется при постоянном давлении, мы можем предположить, что количество вещества \(n\) и универсальная газовая постоянная \(R\) не изменятся.

Из первого уравнения системы мы можем выразить \(\frac{{PV_1}}{{T_1}}\) и \(\frac{{PV_2}}{{T_2}}\):

\[
\frac{{PV_1}}{{T_1}} = \frac{{PV_2}}{{T_2}}
\]

Также известно, что \(V_2 = 2V_1\). Подставим данное значение в уравнение:

\[
\frac{{P(2V_1)}}{{T_1}} = \frac{{PV_2}}{{T_2}}
\]

Упростим:

\[
2\frac{{P}}{{T_1}}V_1 = \frac{{P}}{{T_2}}V_2
\]

Так как \(\frac{{P}}{{T_1}}\) и \(\frac{{P}}{{T_2}}\) равны, умножим оба выражения на эти значения:

\[
2\frac{{P}}{{T_1}}V_1 \cdot \frac{{P}}{{T_1}} = \frac{{P}}{{T_2}}V_2 \cdot \frac{{P}}{{T_2}}
\]

Упростим:

\[
2\frac{{P^2V_1}}{{T_1^2}} = \frac{{P^2V_2}}{{T_2^2}}
\]

Так как \(\frac{{P^2}}{{T_1^2}}\) и \(\frac{{P^2}}{{T_2^2}}\) равны, умножим оба выражения на эти значения:

\[
2\frac{{P^2V_1}}{{T_1^2}} \cdot \frac{{P^2}}{{T_1^2}} = \frac{{P^2V_2}}{{T_2^2}} \cdot \frac{{P^2}}{{T_2^2}}
\]

Упростим:

\[
2\frac{{P^4V_1}}{{T_1^4}} = \frac{{P^4V_2}}{{T_2^4}}
\]

Заметим, что выражения \(\frac{{P^4V_1}}{{T_1^4}}\) и \(\frac{{P^4V_2}}{{T_2^4}}\) пропорциональны друг другу. То есть можно записать:

\[
\frac{{\frac{{P^4V_1}}{{T_1^4}}}}{{\frac{{P^4V_2}}{{T_2^4}}}} = 1
\]

Подставим известные значения \(V_2 = 2V_1\) и упростим выражение:

\[
\frac{{\frac{{P^4V_1}}{{T_1^4}}}}{{\frac{{P^4(2V_1)}}{{T_2^4}}}} = 1
\]

\[
\frac{{T_2^4}}{{T_1^4}} = \frac{{P^4}}{{2P^4}}
\]

\[
\frac{{T_2^4}}{{T_1^4}} = \frac{{1}}{{2}}
\]

Теперь избавимся от степеней:

\[
\frac{{T_2}}{{T_1}} = \sqrt[4]{\frac{{1}}{{2}}}
\]

\[
T_2 = T_1 \cdot \sqrt[4]{\frac{{1}}{{2}}}
\]

Таким образом, температура \(T_2\) при которой объем воздуха увеличивается вдвое, при постоянном давлении, равна \(T_1 \cdot \sqrt[4]{\frac{{1}}{{2}}}\).

Осталось только заменить значение температуры \(T_1\) в выражении. В задаче указано, что начальная температура составляет \(303 \, \text{K}\), так что вместо \(T_1\) подставим данное значение:

\[
T_2 = 303 \, \text{K} \cdot \sqrt[4]{\frac{{1}}{{2}}}
\]

\[
T_2 \approx 238 \, \text{K}
\]

Ответ: Температура, при которой объем воздуха увеличивается вдвое, при постоянном давлении, составляет примерно \(238 \, \text{K}\).