Problem 1: Given: ∆ABC, LC=900 AB = 3 cm, sin β = 0.25 Find: AC - ? Problem 2: ABC is a right triangle. 1) BC = 8

Муравей_2482

35

Задача 1:
Дано: ∆ABC, LC=900 AB = 3 см, sin β = 0.25
Найти: AC - ?
Решение:
Мы знаем, что в треугольнике ABC угол β равен 900, а сторона AB равна 3 сантиметра. Известно также, что синус угла β равен 0.25.
Сначала определим сторону BC, применяя теорему Пифагора:
\[
AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}
\]
\[
AC^{2} = 3^{2} + BC^{2}
\]
\[
AC^{2} = 9 + BC^{2}
\]
Затем подставим значение синуса угла β:
\[
sin \beta = \frac{BC}{AC}
\]
\[
0.25 = \frac{BC}{AC}
\]
\[
BC = 0.25 \cdot AC
\]
Теперь подставим значение BC в уравнение для AC:
\[
AC^{2} = 9 + (0.25 \cdot AC)^{2}
\]
\[
AC^{2} = 9 + 0.0625 \cdot AC^{2}
\]
\[
0.9375 \cdot AC^{2} = 9
\]
\[
AC^{2} = \frac{9}{0.9375}
\]
\[
AC^{2} = 9.6
\]
\[
AC \approx \sqrt{9.6} \approx 3.098
\]
Ответ: AC ≈ 3.098 см.

Задача 2:
ABC - прямоугольный треугольник.
1) BC = 8, AB = 17, AC = 15.
2) BC = 21, AC = 20, AB = 29.
3) AC = 24, AB = 25, BC = 7.
Решение:
Для каждого варианта будем использовать теорему Пифагора, так как ABC - прямоугольный треугольник.
1) BC = 8, AB = 17, AC = 15.
Используем теорему Пифагора:
\[
BC^{2} = AC^{2} + AB^{2}
\]
\[
8^{2} = 15^{2} + 17^{2}
\]
\[
64 = 225 + 289
\]
Выражение 225 + 289 ≠ 64, следовательно, данный вариант не является прямоугольным треугольником.

2) BC = 21, AC = 20, AB = 29.
Используем теорему Пифагора:
\[
BC^{2} = AC^{2} + AB^{2}
\]
\[
21^{2} = 20^{2} + 29^{2}
\]
\[
441 = 400 + 841
\]
Выражение 400 + 841 = 1241, следовательно, данный вариант является прямоугольным треугольником.

3) AC = 24, AB = 25, BC = 7.
Используем теорему Пифагора:
\[
AC^{2} = BC^{2} + AB^{2}
\]
\[
24^{2} = 7^{2} + 25^{2}
\]
\[
576 = 49 + 625
\]
Выражение 49 + 625 = 674, следовательно, данный вариант не является прямоугольным треугольником.

Ответ: Второй вариант (BC = 21, AC = 20, AB = 29) - прямоугольный треугольник.

Задача 3:
Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов A и B.
Дано: В прямоугольном треугольнике, катеты равны 12 см и 5 см, а гипотенуза равна 13 см.
Решение:
Сначала найдем значение угла A, используя обратный тангенс:
\[
tan A = \frac{противолежащий\;катет}{прилежащий\;катет} = \frac{5}{12}
\]
\[
A = atan(\frac{5}{12}) \approx 22.62^{\circ}
\]
Теперь найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла A:
\[
sin A = \frac{противолежащий\;катет}{гипотенуза} = \frac{5}{13}
\]
\[
cos A = \frac{прилежащий\;катет}{гипотенуза} = \frac{12}{13}
\]
\[
tan A = \frac{противолежащий\;катет}{прилежащий\;катет} = \frac{5}{12}
\]
\[
cot A = \frac{прилежащий\;катет}{противолежащий\;катет} = \frac{12}{5}
\]
Теперь найдем значение угла B, используя тот факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов:
\[
B = 180 - A \approx 157.38^{\circ}
\]
Теперь найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла B:
\[
sin B = \frac{противолежащий\;катет}{гипотенуза} = \frac{12}{13}
\]
\[
cos B = \frac{прилежащий\;катет}{гипотенуза} = \frac{5}{13}
\]
\[
tan B = \frac{противолежащий\;катет}{прилежащий\;катет} = \frac{12}{5}
\]
\[
cot B = \frac{прилежащий\;катет}{противолежащий\;катет} = \frac{5}{12}
\]
Ответ:
Для угла A:
\[
sin A = \frac{5}{13},\; cos A = \frac{12}{13},\; tan A = \frac{5}{12},\; cot A = \frac{12}{5}
\]
Для угла B:
\[
sin B = \frac{12}{13},\; cos B = \frac{5}{13},\; tan B = \frac{12}{5},\; cot B = \frac{5}{12}
\]