Протягом якого періоду часу залишиться 25% від кількості радіоактивних атомів у ізотопу йоду-131 з періодом піврозпаду

Korova_3877

51

Для решения этой задачи нам необходимо использовать понятие полураспада и формулу распада радиоактивных элементов.

Известно, что период полураспада \(T_{1/2}\) изотопа йода-131 равен 8 дням. Это означает, что за каждые 8 дней количество радиоактивных атомов уменьшается в два раза.

Мы хотим найти интересующий нас период времени, в течение которого останется 25% исходного количества радиоактивных атомов.

Давайте предположим, что в начальный момент времени количество радиоактивных атомов в изотопе йода-131 было равно 100 (для простоты расчетов).

После 1 периода полураспада (8 дней) останется 50 атомов, после 2 периодов полураспада - 25 атомов, после 3 периодов полураспада - 12,5 атомов.

Для нахождения периода времени, в течение которого останется 25% радиоактивных атомов, мы можем использовать формулу:

\[N(t) = N_{0} \cdot (0.5)^{t/T_{1/2}}\]

Где:
- \(N(t)\) - количество радиоактивных атомов после времени \(t\),
- \(N_{0}\) - начальное количество радиоактивных атомов,
- \(t\) - прошедшее время,
- \(T_{1/2}\) - период полураспада.

Подставляя значения, получаем:

\[12,5 = 100 \cdot (0,5)^{t/8}\]

Теперь найдем, сколько периодов полураспада нужно, чтобы осталось 25% исходного количества радиоактивных атомов:

\[(0,5)^{t/8} = \frac{12,5}{100} = 0,125\]

\[\frac{t}{8} = \log_{0,5} 0,125\]

\[\frac{t}{8} = \log_{2} 0,125\]

\[\frac{t}{8} = \log_{2} 2^{-3} = -3\]

\[t = -3 \cdot 8\]

\[t = -24\]

Отрицательное значение времени не имеет физического смысла, поэтому необходимо учесть, что остается лишь 25% от исходного количества радиоактивных атомов только после 3 полураспада. Таким образом, ответ на задачу: 24 дня.