Каково значение напряженности электрического поля вакуума на расстоянии r > R от оси цилиндрической трубы радиусом

Суслик

16

Для решения данной задачи воспользуемся законом Кулона, который описывает взаимодействие заряженных частиц. Закон Кулона гласит, что напряженность электрического поля \(E\) вокруг точечного заряда равна отношению модуля силы действующей на другой заряд к величине этого заряда.

По условию задачи внутри трубы находится длинный тонкий стержень с равномерной линейной плотностью заряда \(\alpha\). Поле, создаваемое этим стержнем, можно рассмотреть как сумму полей, создаваемых зарядами элементарных участков длины \(\Delta s\).

Для этого найдем напряженность поля \(dE\), создаваемого элементарным участком стержня длиной \(\Delta s\). Для этого воспользуемся формулой для напряженности поля точечного заряда:
\[dE = \frac{{k \cdot \Delta q}}{{r^2}}\],
где \(k\) - постоянная Кулона (\(k = \frac{1}{{4\pi\varepsilon_0}}\)), \(\Delta q\) - заряд элементарного участка стержня, а \(r\) - расстояние от этого участка до точки, в которой мы хотим найти поле.

Так как у нас стержень является длинным и тонким, то \(\Delta q\) можно представить как произведение его линейной плотности \(\alpha\) на длину элементарного участка \(\Delta s\): \(\Delta q = \alpha \cdot \Delta s\).

Теперь можем подставить это значение в формулу для \(dE\):
\[dE = \frac{{k \cdot \Delta q}}{{r^2}} = \frac{{k \cdot \alpha \cdot \Delta s}}{{r^2}}\].

Так как стержень имеет бесконечную длину, то суммарное поле \(E\) в точке на расстоянии \(r\) от оси стержня получается интегрированием по всей длине стержня:
\[E = \int_{-\infty}^{\infty} dE = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{{k \cdot \alpha \cdot \Delta s}}{{r^2}}\].

Выполним интегрирование, учитывая, что \(\Delta s\) - элементарный участок стержня, а \(s\) - координата его оси:
\[E = \frac{{k \cdot \alpha}}{{r^2}} \int_{-\infty}^{\infty} ds = \frac{{k \cdot \alpha}}{{r^2}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} ds = \frac{{k \cdot \alpha}}{{r^2}} \cdot 2s\Bigg|_{-\infty}^{\infty}\].

Так как ось стержня находится на расстоянии \(r\) от точки, где мы ищем поле, то \(\int_{-\infty}^{\infty} ds\) равно расстоянию от точки до стержня, то есть \(2s = 2r\):
\[E = \frac{{k \cdot \alpha}}{{r^2}} \cdot 2r = \frac{{2k \cdot \alpha}}{{r}}\].

Таким образом, значение напряженности электрического поля вакуума на расстоянии \(r > R\) от оси цилиндрической трубы радиусом \(R\), которая имеет поверхностную плотность заряда \(\sigma > 0\) и содержит внутри себя длинный тонкий стержень с равномерной линейной плотностью заряда \(\alpha\), равно \(\frac{{2k \cdot \alpha}}{{r}}\).