Пусть rHC – коэффициент корреляции между влажностью, H, и температурой, измеренной по Цельсию, C. Докажите

Дружище

1

Для доказательства о том, что значение коэффициента корреляции не изменится при переходе от измерения температуры в Фаренгейтах к измерению в Цельсиях, начнем с определения коэффициента корреляции, rHC.

Коэффициент корреляции rHC выражает степень связи между влажностью и температурой и может быть вычислен как отношение ковариации между влажностью H и температурой C к произведению их стандартных отклонений:

\[ rHC = \frac{\text{cov}(H, C)}{\sigma_H \cdot \sigma_C} \]

где \(\text{cov}(H,C)\) - ковариация между H и C,

\(\sigma_H\) - стандартное отклонение влажности H,

\(\sigma_C\) - стандартное отклонение температуры C.

Теперь рассмотрим переход от измерения температуры в Фаренгейтах к измерению в Цельсиях. Пусть TF обозначает температуру, измеренную в Фаренгейтах. Тогда можно использовать следующую формулу для перевода температуры из Фаренгейтов в Цельсии:

\[ TC = \frac{5}{9}(TF - 32) \]

где TC обозначает температуру в Цельсиях.

Для удобства, воспользуемся новыми обозначениями и заменим TC на C, а TF на F, тогда формула перевода будет выглядеть так:

\[ C = \frac{5}{9}(F - 32) \]

Теперь давайте выполним замену F на F(C), чтобы получить зависимость F от C:

\[ F(C) = \frac{9}{5}C + 32 \]

Таким образом, мы перевели измерение температуры из Фаренгейтов в Цельсии.

Теперь у нас есть две системы измерений температуры - Фаренгейты (F) и Цельсии (C), и соответствующие им влажности (H).

Рассмотрим выражение \(\text{cov}(H, C)\) в новых обозначениях:

\[ \text{cov}(H, C) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (H_i - \bar{H})(C_i - \bar{C}) \]

где \(H_i\) и \(C_i\) - значения влажности и температуры, соответственно, \(n\) - общее количество наблюдений, \(\bar{H}\) и \(\bar{C}\) - средние значения влажности и температуры соответственно.

Применяя теперь замену F на F(C), запишем выражение \(\text{cov}(H, C)\) с учетом замен:

\[ \text{cov}(H, C) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (H_i - \bar{H})\left(\frac{9}{5}C_i + 32 - \bar{C}\right) \]

Теперь заменим \(\text{cov}(H,C)\) и \(\sigma_C\) в исходном выражении для коэффициента корреляции:

\[ rHC = \frac{\text{cov}(H, C)}{\sigma_H \cdot \sigma_C} \]

Подставим вместо \(\text{cov}(H, C)\) значение, которое мы получили:

\[ rHC = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (H_i - \bar{H})\left(\frac{9}{5}C_i + 32 - \bar{C}\right)}{\sigma_H \cdot \sigma_C} \]

Теперь заменим \(\sigma_C\) на стандартное отклонение \(F(C)\), что можно выразить как:

\[ \sigma_C = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (C_i - \bar{C})^2} \]

Таким образом, исходное выражение для коэффициента корреляции можно переписать следующим образом:

\[ rHC = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (H_i - \bar{H})\left(\frac{9}{5}C_i + 32 - \bar{C}\right)}{\sigma_H \cdot \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (C_i - \bar{C})^2}} \]

Теперь заметим, что заменяя \(C_i\) на значение \(C_i\) в Фаренгейтах и применяя формулу перевода Фаренгейтов в Цельсии \(F(C_i) = \frac{9}{5}C_i + 32\), выражение не изменится.

Таким образом, значение коэффициента корреляции \(rHC\) не изменится при переходе от измерения температуры в Фаренгейтах к измерению в Цельсиях.

Надеюсь, это понятно и помогает! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, сообщите мне.