Р-10. Сколько различных кодов может составить Маша, переставляя буквы слова КАПКАН так, чтобы избежать слов с двумя

Арсен_149

37

Задача заключается в определении количества различных кодов, которые можно составить, переставляя буквы в слове "КАПКАН" так, чтобы не было слов с двумя подряд одинаковыми буквами.

1) Для начала давайте рассмотрим общее количество перестановок, которые можно составить из 6 букв, не учитывая, что в слове есть одинаковые буквы. Для этого мы можем использовать формулу размещений без повторений:

\[A(n, k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}}\]

где \(n\) - общее количество элементов (букв), а \(k\) - количество элементов (букв), которые мы выбираем для перестановки.

В данном случае, у нас есть 6 букв в слове "КАПКАН", поэтому \(n = 6\). Мы хотим рассмотреть все возможные перестановки, поэтому выбираем все 6 букв для перестановки, то есть \(k = 6\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[A(6, 6) = \frac{{6!}}{{(6-6)!}} = \frac{{6!}}{{0!}} = \frac{{6!}}{{1}} = 6!\]

Таким образом, общее количество перестановок из 6 букв равно \(6!\).

2) Теперь рассмотрим, почему каждая пара одинаковых букв уменьшает количество уникальных слов.

Предположим, что у нас есть две одинаковые буквы "К". Если эти две "К" стоят рядом друг с другом, то мы получим слово "каккан". Оно не удовлетворяет условию задачи, так как имеет две подряд одинаковые буквы.

Однако, если мы переставим эти две "К" так, чтобы они не стояли рядом, то мы получим, например, слово "какан". В этом случае, слово "какан" удовлетворяет условию задачи, так как не имеет двух подряд одинаковых букв.

Таким образом, каждая пара одинаковых букв, которая стоит рядом друг с другом, уменьшает количество уникальных слов.

Для нашей задачи, в слове "КАПКАН" есть две пары одинаковых букв "К". Чтобы найти количество различных кодов, нам нужно вычесть из общего количества перестановок слов с двумя подряд одинаковыми буквами.

Общее количество перестановок мы уже определили как \(6!\) в первом пункте.

Количество слов с двумя подряд одинаковыми буквами можно определить следующим образом:

Если мы объединим две одинаковые "К" в одну "К", то мы получим слово "КПАКАН". В таком случае, мы можем рассматривать это слово как один элемент. То есть, у нас весьма равенство \(5!\), так как это то же самое, что переставлять 5 элементов вместо 6.

Теперь мы можем вычислить количество различных кодов, удовлетворяющих условию:

Количество различных кодов = общее количество перестановок - количество слов с двумя подряд одинаковыми буквами.
\[= 6! - 5!\]

Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам лучше понять задачу и ее решение. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!