Разведена прямоугольная фигура ABCD. K – средняя точка AB, L – средняя точка BC, M – средняя точка CD, N – средняя

Ярд_228

22

Давайте решим задачу шаг за шагом.

а) Для того чтобы показать, что фигура KLMN является ромбом, нам нужно доказать две вещи: что все его стороны равны между собой и что его диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.

1) Докажем, что все стороны KLMN равны. Мы знаем, что K – средняя точка AB, L – средняя точка BC, M – средняя точка CD и N – средняя точка AD. Также, нам дано, что AB = 18 см и BC = 24 см.

Для начала, найдем длины сторон KM и LM. Так как K и L являются средними точками сторон AB и BC соответственно, то KM = \(\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9\) см и LM = \(\frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 24 = 12\) см.

Теперь найдем длины сторон MN и NK. Средние точки M и N разделяют стороны CD и AD пополам. Исходя из этого, MN = \(\frac{1}{2} \times CD = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 24 = 12\) см и NK = \(\frac{1}{2} \times AD = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 18 = 9\) см.

Таким образом, мы видим, что все стороны KLMN равны между собой: KM = LM = MN = NK = 9 см.

2) Докажем, что диагонали KM и LN перпендикулярны и делят друг друга пополам.

Для этого заметим, что K и M - средние точки сторон AB и CD соответственно. Диагональ KM соединяет средние точки этих сторон. Вспоминаем, что если в треугольнике соединить средние точки двух сторон, то отрезок, соединяющий эти средние точки, будет параллелен третьей стороне и равен половине длины этой стороны.

Таким образом, KM параллелен стороне AC и KM = \(\frac{1}{2} \times AC\).

Аналогично, L и N - средние точки сторон BC и AD соответственно. Диагональ LN соединяет средние точки этих сторон.

Исходя из аналогичного рассуждения, LN параллелен стороне BD и LN = \(\frac{1}{2} \times BD\).

Теперь рассмотрим треугольник KLM. Так как диагональ KM параллельна и равна половине стороны AC, а диагональ LN параллельна и равна половине стороны BD, то треугольник KLM будет подобен треугольнику ABD по правилу ТВП (теорема об обратно подобных треугольниках).

Из подобия треугольников KLM и ABD следует, что угол KLM равен углу ABD, а угол LMN равен углу BDA. Так как углы противоположные сторонам AB и BC в средних точках этих сторон также равны, то КЛМН будет ромбом.

б) Чтобы найти общую длину KLMN, мы должны найти сумму длин всех его сторон. Мы уже знаем, что KM = LM = MN = NK = 9 см, поэтому сумма длин всех сторон равна 9 + 9 + 9 + 9 = 36 см.

Чтобы найти площадь KLMN, нам нужно умножить длину одной его диагонали на длину другой диагонали и разделить полученное значение на 2. Но поскольку мы знаем, что фигура KLMN является ромбом, у которого диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, то для нахождения площади можно умножить длину любой из диагоналей на половину длины другой диагонали.

Для нашего ромба KLMN длина диагонали KM равна AC, а длина диагонали LN равна BD. Мы не знаем точные значения сторон AC и BD, поэтому не можем точно найти их длины и, соответственно, площадь KLMN.