Яка площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда зі сторонами основи 8 см і 15 см, при повній діагоналі основи

Веселый_Зверь

64

Для решения этой задачи нам понадобится использовать некоторую геометрическую теорию. Давайте разберемся пошагово:

1. Найдем высоту параллелепипеда \(h\). Мы знаем, что полная диагональ основы создает угол 60° с плоскостью основы. Вспомним, что этот угол деляет параллелепипед на два равнобедренных треугольника.

2. Найдем длину основания треугольника \(a\). Для этого применим теорему косинусов к треугольнику, в котором угол при основании равен 60°.

Пусть \(a\) - сторона треугольника, которая является основанием параллелепипеда (8 см), \(c\) - полная диагональ основы.

Тогда, используя теорему косинусов:
\[c^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos{60^\circ}\]
\[c^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos{60^\circ}\]
\[c^2 = 2a^2 - a^2\]
\[c^2 = a^2\]
\[c = a\]

Таким образом, полная диагональ основы равна длине одной стороны основания параллелепипеда.

3. Высота параллелепипеда равна длине биссектрисы угла при основании. В равнобедренном треугольнике это отрезок, проходящий из вершины угла и перпендикулярный основанию.

Так как у нас треугольник со сторонами \(a\), \(a\) и \(c\), высота может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:
\[h^2 = c^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}\]
\[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]
\[h = \frac{\sqrt{3}a}{2}\]

4. Теперь, чтобы найти общую площадь поверхности параллелепипеда, нам нужно найти площади шести прямоугольных граней и сложить их.

Площадь одной грани равна произведению длины и ширины:
\[S_{\text{грани}} = a \cdot h\]
\[S_{\text{грани}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{2}\]

Так как у нас шесть граней, общая площадь поверхности будет равна:
\[S = 6 \cdot S_{\text{грани}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{2} = 3\sqrt{3}a^2\]

Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами основы 8 см и 15 см, при полной диагонали основы, угол которой равен 60°, будет равна \(3\sqrt{3}a^2\), где \(a\) - длина стороны основания 8 см.