Решить с использованием теории вероятностей. Прогнозирование погоды на острове через продолжительные периоды времени

Zvezdopad_Na_Gorizonte

23

Шаг 1: Понимание задачи

В данной задаче нам дана матрица вероятностей переходов между состояниями погоды на острове: 0,7 0,3 0,4 0,6. Задача состоит в том, чтобы вычислить матрицы прогноза погоды на острове на протяжении трех дней вперед и вероятность наличия солнечной погоды в ближайшую субботу, при условии, что в среду погода была дождливой.

Шаг 2: Вычисление матриц прогноза погоды на острове на протяжении трех дней вперед

Для вычисления матриц прогноза погоды на острове на протяжении трех дней вперед, нам нужно умножить исходную матрицу вероятностей переходов саму на себя три раза:

\[
\text{{Матрица прогноза на 1-й день}} = \text{{Матрица вероятностей переходов}} \times \text{{Матрица вероятностей переходов}}
\]

\[
\text{{Матрица прогноза на 2-й день}} = \text{{Матрица прогноза на 1-й день}} \times \text{{Матрица вероятностей переходов}}
\]

\[
\text{{Матрица прогноза на 3-й день}} = \text{{Матрица прогноза на 2-й день}} \times \text{{Матрица вероятностей переходов}}
\]

Шаг 3: Вычисление вероятности наличия солнечной погоды в ближайшую субботу

Для вычисления вероятности наличия солнечной погоды в ближайшую субботу при условии, что в среду погода была дождливой, нам нужно найти соответствующий элемент в полученной матрице прогноза на 3-й день. Для этого нам понадобится знать порядковый номер состояния "сухой погоды" в матрице.

Шаг 4: Решение задачи

а) Вычисление матриц прогноза погоды на острове на протяжении трех дней вперед:

\[
\text{{Матрица прогноза на 1-й день}} = \begin{bmatrix}
0.7 & 0.3 \\
0.4 & 0.6 \\
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
0.7 & 0.3 \\
0.4 & 0.6 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.61 & 0.39 \\
0.46 & 0.54 \\
\end{bmatrix}
\]

\[
\text{{Матрица прогноза на 2-й день}} = \begin{bmatrix}
0.61 & 0.39 \\
0.46 & 0.54 \\
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
0.7 & 0.3 \\
0.4 & 0.6 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.574 & 0.426 \\
0.514 & 0.486 \\
\end{bmatrix}
\]

\[
\text{{Матрица прогноза на 3-й день}} = \begin{bmatrix}
0.574 & 0.426 \\
0.514 & 0.486 \\
\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}
0.7 & 0.3 \\
0.4 & 0.6 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.5536 & 0.4464 \\
0.5324 & 0.4676 \\
\end{bmatrix}
\]

б) Вычисление вероятности наличия солнечной погоды в ближайшую субботу при условии, что в среду погода была дождливой:

Исходя из матрицы прогноза на 3-й день, элемент в первой строке и первом столбце соответствует вероятности наличия солнечной погоды в ближайшую субботу. Значение этого элемента равно 0.5536.

Таким образом, вероятность наличия солнечной погоды в ближайшую субботу, при условии, что в среду погода была дождливой, составляет 0.5536.