Решите, как можно быстрее ❤ (будет отлично, если будете использовать чертеж). 1) В прямоугольном параллелепипеде

Timka_6814

22

Прежде чем перейти к решению каждой задачи, давайте определим некоторые величины и основные свойства прямоугольного параллелепипеда.

- Прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
- Возьмем вершину B и проведем диагональ BD1, соединяющую вершины B и D1.
- Прямоугольный параллелепипед также обладает следующими свойствами:
1) Противоположные грани параллельны и равны по размеру.
2) Боковые грани прямоугольного параллелепипеда равны между собой по размеру.
3) Диагональ параллелепипеда является его осью симметрии.

Теперь перейдем к решению каждой задачи:

1) Дано: AC1 = 10, BB1 = √19.
Нам нужно найти синус угла BD1D.

Чтобы найти синус, рассмотрим прямоугольный треугольник BD1D.
По теореме Пифагора в треугольнике BD1D имеем:
\[BD1^2 = BB1^2 + D1D^2.\]

Подставим известные значения:
\[BD1^2 = (\sqrt{19})^2 + 10^2.\]
\[BD1^2 = 19 + 100.\]
\[BD1^2 = 119.\]

Теперь найдем длину ребра BD1:
\[BD1 = \sqrt{119}.\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDD1:
Угол BD1D является прямым углом, поэтому синус угла BD1D равен отношению противолежащего катета (DD1) к гипотенузе (BD1):
\[\sin(BD1D) = \frac{DD1}{BD1}.\]

Подставим известные значения:
\[\sin(BD1D) = \frac{10}{\sqrt{119}}.\]

Таким образом, синус угла BD1D равен \(\frac{10}{\sqrt{119}}\).

2) Дано: AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.
Нам нужно найти угол ABD1.

Опять же, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD1.
Нам уже известны две стороны треугольника: AB = 5 и AD = 4.
Используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону, которая равна BD1:
\[BD1^2 = AB^2 + AD^2.\]
\[BD1^2 = 5^2 + 4^2.\]
\[BD1^2 = 25 + 16.\]
\[BD1^2 = 41.\]

Теперь найдем значение синуса угла ABD1.
В прямоугольном треугольнике ABD1 синус угла ABD1 равен отношению противолежащего катета (AB) к гипотенузе (BD1):
\[\sin(ABD1) = \frac{AB}{BD1}.\]

Подставим известные значения:
\[\sin(ABD1) = \frac{5}{\sqrt{41}}.\]

Таким образом, синус угла ABD1 равен \(\frac{5}{\sqrt{41}}\).

3) Дано: AB = 5, AD = 12, AA1 = 13.
Нам нужно найти угол DBD1.

Для этой задачи мы можем использовать теорему косинусов.
В треугольнике DBD1 у нас уже известны значения сторон: DB = AB = 5, DD1 = AD = 12 и BD1 = AA1 = 13.
Тогда, по теореме косинусов, можем записать:
\[BD1^2 = DB^2 + DD1^2 - 2 \cdot DB \cdot DD1 \cdot \cos(DBD1).\]

Подставим известные значения:
\[13^2 = 5^2 + 12^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos(DBD1).\]
\[169 = 25 + 144 - 120 \cdot \cos(DBD1).\]
\[169 = 169 - 120 \cdot \cos(DBD1).\]
\[0 = -120 \cdot \cos(DBD1).\]
В данном случае \(\cos(DBD1) = 0\), что означает, что угол DBD1 является прямым углом.

Таким образом, угол DBD1 равен 90 градусов.

4) Дано: AB = 8, AD = 11, AA1 = 6.
Нам нужно найти синус угла между прямыми AB1 и CD1.

Чтобы найти синус, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD1.
Используем теорему Пифагора, чтобы найти сторону BD1:
\[BD1^2 = AB^2 + AD^2.\]
\[BD1^2 = 8^2 + 11^2.\]
\[BD1^2 = 64 + 121.\]
\[BD1^2 = 185.\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CD1D.
Нам известны две стороны треугольника: CD1 = AA1 = 6 и DD1 = AD = 11.
Используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону DC:
\[DC^2 = CD1^2 + DD1^2.\]
\[DC^2 = 6^2 + 11^2.\]
\[DC^2 = 36 + 121.\]
\[DC^2 = 157.\]

Теперь найдем значение синуса угла между прямыми AB1 и CD1.
Синус этого угла равен отношению противолежащего катета (BD1) к гипотенузе (DC):
\[\sin(\text{угол между AB1 и CD1}) = \frac{BD1}{DC}.\]

Подставляем известные значения:
\[\sin(\text{угол между AB1 и CD1}) = \frac{\sqrt{185}}{\sqrt{157}}.\]

Таким образом, синус угла между прямыми AB1 и CD1 равен \(\frac{\sqrt{185}}{\sqrt{157}}\).