Решите следующие задачи: Задача №116: Докажите, что в равнобедренном треугольнике все углы равны. Задача №117

София

44

Задача №116: Чтобы доказать, что в равнобедренном треугольнике все углы равны, нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла, прилегающих к этим сторонам.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и AC, а также углами B и C при вершине A.

Чтобы доказать, что все углы равны, нам нужно доказать, что угол A равен углу B и углу C.

Мы знаем, что стороны AB и AC равны, поэтому у нас есть равенство AB = AC.

Теперь обратимся к свойству равнобедренного треугольника, которое говорит о равенстве оснований углов при равных сторонах. В нашем случае основаниями углов B и C являются стороны AB и AC соответственно.

Из равенства AB = AC следует, что основания углов B и C равны, то есть угол B = углу C.

Наконец, у нас есть угол A при вершине A, и мы уже знаем, что угол B = углу C.

Исходя из предыдущих рассуждений, мы можем заключить, что все углы в равнобедренном треугольнике равны. Ответ: все углы в равнобедренном треугольнике будут равны.

Задача №117: На рисунке 67 дано, что AB=BC и CD=DE. Нам нужно доказать, что угол BAC равен углу CED.

Для доказательства этого факта мы воспользуемся свойством равных сторон и углов треугольника, а именно тем, что если две стороны и угол между ними одинаковые, то треугольники равны.

Дано, что AB = BC и CD = DE. Это означает, что у нас есть два равных отрезка и они находятся на одной прямой линии.

Рассмотрим треугольник ABC и треугольник CDE. Мы знаем, что AB = BC и CD = DE, а также у нас есть общая сторона AC.

Используя свойство, о котором мы говорили ранее, мы можем сделать вывод, что угол BAC равен углу CED, потому что у нас есть две равные стороны и угол между ними.

Таким образом, мы успешно доказали, что угол BAC равен углу CED.

Задача №118: На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN.

a) Нам нужно доказать, что треугольник BDE равен треугольнику BDF.

Чтобы это показать, рассмотрим треугольники BDE и BDF. Мы знаем, что у них есть общая сторона BD, а также BM = CN.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то у него углы B и C при основании BC равны.

Используя это свойство, мы можем сказать, что у треугольников BDE и BDF углы B равны между собой.

Также, у треугольников BDE и BDF у нас есть две пары равных сторон: BD и DE для треугольника BDE и BD и DF для треугольника BDF.

Поэтому, из свойства, которое мы обсуждали ранее, треугольники BDE и BDF равны.

Таким образом, мы успешно доказали, что треугольник BDE равен треугольнику BDF.

b) Теперь мы должны доказать, что треугольник ADE равен треугольнику CDF.

По аналогии с предыдущим доказательством, рассмотрим треугольники ADE и CDF. У них есть общая сторона AD и две пары равных сторон: AE и DE для треугольника ADE и CF и DF для треугольника CDF.

Также, так как треугольник ABC равнобедренный, то у него углы B и C при основании BC равны.

Используя свойство равнобедренного треугольника, мы можем сделать вывод, что углы A и C равны.

Таким образом, у треугольников ADE и CDF у нас есть две пары равных сторон и углы, поэтому мы можем сказать, что они равны.

Таким образом, мы успешно доказали, что треугольник ADE равен треугольнику CDF.

Задача №119: В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF - биссектриса, угол DEF равен 43 градусам.

a) Нам нужно найти KF.

Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике DEK.

Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех сторон треугольника.

Используя теорему синусов для треугольника DEK, мы можем записать следующее соотношение:

\(\frac{{DE}}{{\sin(\angle D)}} = \frac{{KF}}{{\sin(\angle K)}}\)

Мы знаем, что DK = 16 см и угол DEF = 43 градуса.

Таким образом, у нас есть следующее соотношение:

\(\frac{{DE}}{{\sin(43^\circ)}} = \frac{{KF}}{{\sin(\angle K)}}\)

Осталось найти значение синуса угла K.

Воспользуемся свойством равнобедренного треугольника: углы при основании равны.

Так как DK является основанием треугольника DEK, то углы D и K при этом основании также равны.

Таким образом, у нас есть следующее соотношение:

\(\angle K = \frac{{180^\circ - \angle D}}{{2}} = \frac{{180^\circ - 43^\circ}}{{2}}\)

Теперь, используя найденные значения, мы можем выразить KF:

\(\frac{{DE}}{{\sin(43^\circ)}} = \frac{{KF}}{{\sin\left(\frac{{180^\circ - 43^\circ}}{{2}}\right)}}\)

Подставляем известные значения:

\(\frac{{DE}}{{\sin(43^\circ)}} = \frac{{KF}}{{\sin(68.5^\circ)}}\)

Остается решить полученное уравнение относительно KF.

b) Теперь нам нужно найти угол DEK и угол KED.

Используя свойства равнобедренного треугольника, мы знаем, что углы D и K при основании DK равны.

Таким образом, угол DEK = углу KED, ищем их.

Подставляем угол DEK = углу KED = x в уравнение:

\(\frac{{DE}}{{\sin(43^\circ)}} = \frac{{KF}}{{\sin\left(\frac{{180^\circ - 43^\circ}}{{2}}\right)}}\)

и решаем его относительно x.

Надеюсь, это помогло!