В прямоугольной трапеции ABCD, где угол BAD равен 90 градусов, длины оснований AD и BC равны 12 и 8 соответственно

  • 63
В прямоугольной трапеции ABCD, где угол BAD равен 90 градусов, длины оснований AD и BC равны 12 и 8 соответственно, а длина диагонали BD равна 20. Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD обозначена как M. а) Подтвердите подобие треугольников ВМС и DMA. б) Найдите площадь треугольника BMC.
Ледяной_Дракон
9
а) Чтобы подтвердить подобие треугольников ВМС и DMA, нам нужно показать, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

У нас есть два треугольника: ВМС и DMA. Давайте рассмотрим их отдельно.

В треугольнике ВМС, угол В равен углу D, так как они являются вертикальными углами и по свойству трапеции. Угол M в обоих треугольниках является общим углом.

Теперь давайте посмотрим на соответствующие стороны. Сторона ВМ в треугольнике ВМС соответствует стороне DM в треугольнике DMA, так как они являются диагоналями трапеции и пересекаются в точке M. Сторона ВС соответствует стороне DA, так как они являются основаниями трапеции.

Теперь мы можем сделать вывод, что треугольники ВМС и DMA подобны по двум углам (угол В равен углу D и угол M общий) и одной стороне (сторона ВМ соответствует стороне DM). Это удовлетворяет условию подобия треугольников, известному как УУП (угол-угол-подобие). Таким образом, треугольники ВМС и DMA подобны.

б) Чтобы найти площадь треугольника ВМС, нам нужно знать длину стороны BM.

Используя подобие треугольников, мы можем записать пропорцию:

BMDM=BCDA

Подставляя известные значения:

BM20=812

Перекрестное умножение даст нам:

BM12=208

BM=20812

BM=16012

BM=403

Таким образом, длина стороны BM равна 403.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ВМС, используя формулу для площади треугольника:

S=12основаниевысота

В треугольнике ВМС, основание равно BM, а высота равна AD.

Подставляя значения:

S=1240312

S=2403

S=80

Таким образом, площадь треугольника ВМС равна 80 квадратных единиц.