В прямоугольной трапеции ABCD, где угол BAD равен 90 градусов, длины оснований AD и BC равны 12 и 8 соответственно

Ледяной_Дракон

9

а) Чтобы подтвердить подобие треугольников ВМС и DMA, нам нужно показать, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

У нас есть два треугольника: ВМС и DMA. Давайте рассмотрим их отдельно.

В треугольнике ВМС, угол В равен углу D, так как они являются вертикальными углами и по свойству трапеции. Угол M в обоих треугольниках является общим углом.

Теперь давайте посмотрим на соответствующие стороны. Сторона ВМ в треугольнике ВМС соответствует стороне DM в треугольнике DMA, так как они являются диагоналями трапеции и пересекаются в точке M. Сторона ВС соответствует стороне DA, так как они являются основаниями трапеции.

Теперь мы можем сделать вывод, что треугольники ВМС и DMA подобны по двум углам (угол В равен углу D и угол M общий) и одной стороне (сторона ВМ соответствует стороне DM). Это удовлетворяет условию подобия треугольников, известному как УУП (угол-угол-подобие). Таким образом, треугольники ВМС и DMA подобны.

б) Чтобы найти площадь треугольника ВМС, нам нужно знать длину стороны BM.

Используя подобие треугольников, мы можем записать пропорцию:

\(\frac{BM}{DM} = \frac{BC}{DA}\)

Подставляя известные значения:

\(\frac{BM}{20} = \frac{8}{12}\)

Перекрестное умножение даст нам:

\(BM \cdot 12 = 20 \cdot 8\)

\(BM = \frac{20 \cdot 8}{12}\)

\(BM = \frac{160}{12}\)

\(BM = \frac{40}{3}\)

Таким образом, длина стороны BM равна \(\frac{40}{3}\).

Теперь мы можем найти площадь треугольника ВМС, используя формулу для площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\)

В треугольнике ВМС, основание равно BM, а высота равна AD.

Подставляя значения:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{40}{3} \cdot 12\)

\(S = \frac{240}{3}\)

\(S = 80\)

Таким образом, площадь треугольника ВМС равна 80 квадратных единиц.