В прямоугольной трапеции ABCD, где угол BAD равен 90 градусов, длины оснований AD и BC равны 12 и 8 соответственно

Ледяной_Дракон

9

а) Чтобы подтвердить подобие треугольников ВМС и DMA, нам нужно показать, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

У нас есть два треугольника: ВМС и DMA. Давайте рассмотрим их отдельно.

В треугольнике ВМС, угол В равен углу D, так как они являются вертикальными углами и по свойству трапеции. Угол M в обоих треугольниках является общим углом.

Теперь давайте посмотрим на соответствующие стороны. Сторона ВМ в треугольнике ВМС соответствует стороне DM в треугольнике DMA, так как они являются диагоналями трапеции и пересекаются в точке M. Сторона ВС соответствует стороне DA, так как они являются основаниями трапеции.

Теперь мы можем сделать вывод, что треугольники ВМС и DMA подобны по двум углам (угол В равен углу D и угол M общий) и одной стороне (сторона ВМ соответствует стороне DM). Это удовлетворяет условию подобия треугольников, известному как УУП (угол-угол-подобие). Таким образом, треугольники ВМС и DMA подобны.

б) Чтобы найти площадь треугольника ВМС, нам нужно знать длину стороны BM.

Используя подобие треугольников, мы можем записать пропорцию:

$\frac{BM}{DM}=\frac{BC}{DA}$

Подставляя известные значения:

$\frac{BM}{20}=\frac{8}{12}$

Перекрестное умножение даст нам:

$BM\cdot 12=20\cdot 8$

$BM=\frac{20\cdot 8}{12}$

$BM=\frac{160}{12}$

$BM=\frac{40}{3}$

Таким образом, длина стороны BM равна $\frac{40}{3}$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ВМС, используя формулу для площади треугольника:

$S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}$

В треугольнике ВМС, основание равно BM, а высота равна AD.

Подставляя значения:

$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{40}{3}\cdot 12$

$S=\frac{240}{3}$

$S=80$

Таким образом, площадь треугольника ВМС равна 80 квадратных единиц.