Решите указанное неравенство и выберите правильный вариант ответа: какой интервал подходит для x при условии

Алина

62

Для решения данного неравенства нам потребуется применить замену переменной. Обозначим \(y = \arccos{x}\), тогда \(x = \cos{y}\). Теперь мы можем переписать уравнение в терминах \(y\):

\[\arccos^2{x} - 8\arccos{x} + 14 = 0\]
\[(\cos{y})^2 - 8\cos{y} + 14 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(y\).

Решим его с помощью квадратного трёхчлена или формулы дискриминанта.

Для начала выразим дискриминант:

\[D = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot14 = 64 - 56 = 8\]

Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два действительных корня. Рассмотрим формулу решения квадратного уравнения:

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -8\) и \(D = 8\). Подставим значения в формулу:

\[y_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{8 + 2\sqrt{2}}{2} = 4 + \sqrt{2}\]
\[y_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{8 - 2\sqrt{2}}{2} = 4 - \sqrt{2}\]

Теперь найдём значения переменной \(x\), используя обратную функцию косинуса:

\[x_1 = \cos{(4 + \sqrt{2})}\]
\[x_2 = \cos{(4 - \sqrt{2})}\]

Найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) не попадают ни в один из предложенных интервалов \([2; -2.5]\), \([-2; 1.5]\), \([-2; -2.5]\), \([-1; -2.5]\). Таким образом, ни один из предложенных вариантов не является правильным ответом.