Решите указанное неравенство и выберите правильный вариант ответа: какой интервал подходит для x при условии

Алина

62

Для решения данного неравенства нам потребуется применить замену переменной. Обозначим $y=\arccos x$, тогда $x=\cos y$. Теперь мы можем переписать уравнение в терминах $y$:

$${\arccos }^{2}x-8\arccos x+14=0$$
$$(\cos y{)}^2-8\cos y+14=0$$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$.

Решим его с помощью квадратного трёхчлена или формулы дискриминанта.

Для начала выразим дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 14=64-56=8$$

Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два действительных корня. Рассмотрим формулу решения квадратного уравнения:

$$y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

В нашем случае $a=1$, $b=-8$ и $D=8$. Подставим значения в формулу:

$$y_1=\frac{-(-8)+\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{8+2\sqrt{2}}{2}=4+\sqrt{2}$$
$$y_2=\frac{-(-8)-\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{8-2\sqrt{2}}{2}=4-\sqrt{2}$$

Теперь найдём значения переменной $x$, используя обратную функцию косинуса:

$$x_1=\cos (4+\sqrt{2})$$
$$x_2=\cos (4-\sqrt{2})$$

Найденные значения $x_1$ и $x_2$ не попадают ни в один из предложенных интервалов $[2;-2.5]$, $[-2;1.5]$, $[-2;-2.5]$, $[-1;-2.5]$. Таким образом, ни один из предложенных вариантов не является правильным ответом.