Решите уравнение lg(15х+2)=lg (6х-3)/5

Magnitnyy_Zombi

16

Конечно! Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Начнем с приведения логарифмов к общему основанию. У нас имеется уравнение с двумя логарифмами, основания которых отличаются. Используя свойство логарифма \(\log_a{(b)} = \frac{{\log_c{(b)}}}{{\log_c{(a)}}}\), где \(c\) - произвольное положительное число, можем привести оба логарифма к основанию 10:

\[\log_{10}{(15x+2)} = \frac{{\log_{10}{(6x-3)}}}{5}\]

Затем, используя свойство логарифма \(\log_a{(b^c)} = c\log_a{(b)}\), преобразуем правую часть уравнения:

\[\log_{10}{(15x+2)} = \frac{1}{5}\log_{10}{(6x-3)}\]

Теперь, чтобы избавиться от логарифма в знаменателе, мы возводим обе части уравнения в пятую степень:

\[\left(\log_{10}{(15x+2)}\right)^5 = \left(\frac{1}{5}\log_{10}{(6x-3)}\right)^5\]

Правая часть уравнения теперь превращается в \(\left(\log_{10}{(6x-3)}\right)^1\) по свойству степени единицы.

Таким образом, мы получаем:

\[\left(\log_{10}{(15x+2)}\right)^5 = \log_{10}{(6x-3)}\]

Теперь мы можем использовать следующее свойство логарифма: \(\log_a{(b^c)} = c\log_a{(b)}\), чтобы убрать логарифмы и преобразовать уравнение следующим образом:

\[(15x+2)^5 = 6x-3\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Раскрыв скобки, получим:

\(15^5x^5 + 2^5 = 6x - 3\)

\(3,375,000x^5 + 32 = 6x - 3\)

Теперь приведем похожие слагаемые вместе:

\(3,375,000x^5 - 6x = 3 - 32\)

\(3,375,000x^5 - 6x = -29\)

Мы получили полином пятой степени. Уравнение этой степени обычно решается численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции. Однако, для решения данного уравнения нам потребуется использовать численные методы в программе или калькуляторе.

Итак, вот шаги, которые мы прошли для решения данного уравнения. Если у вас есть конкретные числовые значения для \(x\), вы можете использовать их для прохождения всех этих шагов и получения численного решения.