Решите уравнение lg(15х+2)=lg (6х-3)/5

Magnitnyy_Zombi

16

Конечно! Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Начнем с приведения логарифмов к общему основанию. У нас имеется уравнение с двумя логарифмами, основания которых отличаются. Используя свойство логарифма ${\log }_a(b)=\frac{{\log }_c(b)}{{\log }_c(a)}$, где $c$ - произвольное положительное число, можем привести оба логарифма к основанию 10:

$${\log }_{10}(15x+2)=\frac{{\log }_{10}(6x-3)}{5}$$

Затем, используя свойство логарифма ${\log }_a(b^c)=c{\log }_a(b)$, преобразуем правую часть уравнения:

$${\log }_{10}(15x+2)=\frac{1}{5}{\log }_{10}(6x-3)$$

Теперь, чтобы избавиться от логарифма в знаменателе, мы возводим обе части уравнения в пятую степень:

$${({\log }_{10}(15x+2))}^5={(\frac{1}{5}{\log }_{10}(6x-3))}^5$$

Правая часть уравнения теперь превращается в ${({\log }_{10}(6x-3))}^1$ по свойству степени единицы.

Таким образом, мы получаем:

$${({\log }_{10}(15x+2))}^5={\log }_{10}(6x-3)$$

Теперь мы можем использовать следующее свойство логарифма: ${\log }_a(b^c)=c{\log }_a(b)$, чтобы убрать логарифмы и преобразовать уравнение следующим образом:

$$(15x+2{)}^5=6x-3$$

Теперь мы можем решить это уравнение. Раскрыв скобки, получим:

${15}^5{x}^5+2^5=6x-3$

$3,375,000x^5+32=6x-3$

Теперь приведем похожие слагаемые вместе:

$3,375,000x^5-6x=3-32$

$3,375,000x^5-6x=-29$

Мы получили полином пятой степени. Уравнение этой степени обычно решается численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции. Однако, для решения данного уравнения нам потребуется использовать численные методы в программе или калькуляторе.

Итак, вот шаги, которые мы прошли для решения данного уравнения. Если у вас есть конкретные числовые значения для $x$, вы можете использовать их для прохождения всех этих шагов и получения численного решения.