Рисунок дан. Длина отрезка ОМ равна 13,5 см, длина отрезка ОК равна 27 см, длина отрезка ОN равна 5,5 см, а длина

Sumasshedshiy_Kot

35

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллельности прямых. Чтобы доказать, что отрезки \(MN\) и \(KP\) параллельны, мы можем использовать две теоремы: теорему о соотношении длин отрезков на параллельных прямых и теорему о сумме углов треугольника.

а) Докажем, что \(MN\) и \(KP\) параллельны. Для этого воспользуемся теоремой об отношении длин отрезков на параллельных прямых. Если на двух параллельных прямых провести пересекающие их прямые, то отрезки, образованные этими прямыми, имеют пропорциональные длины.

Исходя из этого, мы можем сказать, что если \(\frac{{OM}}{{OK}} = \frac{{ON}}{{OP}}\), то отрезки \(MN\) и \(KP\) параллельны. Давайте проверим это.

У нас есть следующие данные:
\(OM = 13,5\) см,
\(OK = 27\) см,
\(ON = 5,5\) см,
\(OP = 11\) см.

Подставим данные в формулу соотношения длин отрезков на параллельных прямых:

\(\frac{{OM}}{{OK}} = \frac{{ON}}{{OP}}\)

\(\frac{{13,5}}{{27}} = \frac{{5,5}}{{11}}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

Как видим, значения в обоих частях равны, следовательно, отрезки \(MN\) и \(KP\) параллельны.

б) Теперь найдем отношение площадей и периметров треугольников \(OMN\) и \(OKP\). Чтобы это сделать, вычислим сначала площади треугольников, а затем найдем отношение площадей и отношение периметров.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Где \(a\) - длина основания треугольника, а \(h\) - высота, опущенная на это основание. Для треугольника \(OMN\) основание \(MN\) равно 13,5 см, а высота \(h\) проходит от точки \(O\) до отрезка \(MN\) (так как \(MN\) параллельно \(KP\), высота проведена из точки \(O\) до \(MN\) будет аналогичной высоте проведенной из точки \(O\) до \(KP\)). Вычислим площадь треугольника \(OMN\):

\[S_{OMN} = \frac{1}{2} \cdot 13,5 \cdot h_{OMN}\]

Для треугольника \(OKP\) основание \(KP\) равно 27 см, а высота \(h\) проходит от точки \(O\) до отрезка \(KP\). Вычислим площадь треугольника \(OKP\):

\[S_{OKP} = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot h_{OKP}\]

Для нахождения высоты \(h_{OMN}\) и \(h_{OKP}\) воспользуемся теоремой Пифагора в треугольниках \(OMN\) и \(OKP\). Теорема Пифагора гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Для треугольника \(OMN\):
\(OM\) - гипотенуза (\(c\)) с длиной 13,5 см,
\(ON\) - катет (\(a\)) с длиной 5,5 см,
\(h_{OMN}\) - катет (\(b\)) (высота, опущенная на основание \(MN\)).

Применяем теорему Пифагора для \(OMN\):

\[13,5^2 = 5,5^2 + h_{OMN}^2\]

Вычисляем:
\[182,25 = 30,25 + h_{OMN}^2\]
\[h_{OMN}^2 = 182,25 - 30,25 = 152\]
\[h_{OMN} = \sqrt{152} \approx 12,33\]

Теперь найдём высоту треугольника \(OKP\). В треугольнике \(OKP\) гипотенуза (\(c\)) равна 27, катет (\(a\)) равен 11, и мы ищем катет (\(b\)) (высоту, опущенную на основание \(KP\)). Применяем теорему Пифагора для \(OKP\):

\[27^2 = 11^2 + h_{OKP}^2\]

Вычисляем:
\[729 = 121 + h_{OKP}^2\]
\[h_{OKP}^2 = 729 - 121 = 608\]
\[h_{OKP} = \sqrt{608} \approx 24,65\]

Теперь подставим найденные значения высот в формулы для площадей треугольников:

\[S_{OMN} = \frac{1}{2} \cdot 13,5 \cdot 12,33 \approx 99,3 \, \text{см}^2\]

\[S_{OKP} = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 24,65 \approx 331,95 \, \text{см}^2\]

Наконец, чтобы найти отношение площадей треугольников, делим площадь треугольника \(OMN\) на площадь треугольника \(OKP\):

\[\frac{{S_{OMN}}}{{S_{OKP}}} = \frac{{99,3}}{{331,95}} \approx 0,2992\]

Отношение площадей треугольников \(OMN\) и \(OKP\) округлим до четырех знаков после запятой и получим около 0,2992.

Теперь давайте найдем отношение периметров треугольников \(OMN\) и \(OKP\). Для этого сложим длины всех сторон треугольников:

\(\text{Периметр}_{OMN} = OM + ON + MN = 13,5 + 5,5 + 13,5 = 32,5\) см

\(\text{Периметр}_{OKP} = OK + KP + OP = 27 + 11 + 27 = 65\) см

Теперь найдем отношение периметров треугольников, разделив периметр треугольника \(OMN\) на периметр треугольника \(OKP\):

\(\frac{{\text{Периметр}_{OMN}}}{{\text{Периметр}_{OKP}}} = \frac{{32,5}}{{65}} = \frac{1}{2}\)

Отношение периметров треугольников \(OMN\) и \(OKP\) равно \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, мы доказали, что отрезки \(MN\) и \(KP\) параллельны, а также нашли отношение площадей и периметров треугольников \(OMN\) и \(OKP\).