Розрахуйте значення кутів прямокутної трапеції, якщо косинус одного з них становить [tex] - frac{ sqrt{2} }{2} [/tex

Belochka

13

Щоб розрахувати значення кутів прямокутної трапеції, потрібно відрізнити дві пари кутів: базові кути, що лежать на основах трапеції, та кути виступа, що лежать на бічних сторонах.

Нехай кут виступа, косинус якого дорівнює \(- \frac{ \sqrt{2} }{2}\), позначимо як \(\theta\). За теоремою косинусів, косинус кута \(\theta\) визначається як відношення прилеглої катету до гіпотенузи прямокутного трикутника. Запишемо це в рівняння:

\(\cos(\theta) = - \frac{ \sqrt{2} }{2}\)

Звідси можемо знайти синус кута \(\theta\), використавши тотожність \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):

\(\sin(\theta) = \sqrt{1 - \left(- \frac{ \sqrt{2} }{2}\right)^2} = \frac{ \sqrt{2} }{2}\)

Тепер ми можемо визначити значення кута \(\theta\), використовуючи властивість синуса, яка стверджує, що синус кута є відношенням протилежного катету до гіпотенузи прямокутного трикутника. Оскільки трапеція не є прямокутним трикутником, ми використаємо допоміжний прямокутний трикутник, утворений підставою трапеції:

\[\sin(\theta) = \frac{a}{h}\]

де \(a\) - довжина бази трапеції, \(h\) - висота трапеції.

Залишається виразити \(a\) та \(h\) через невідому величину \(x\), яка є довжиною бічної сторони трапеції. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику маємо:

\[a^2 = x^2 - h^2\]

Тепер підставимо вираз для \(a\) в рівняння для синуса:

\[\frac{x^2 - h^2}{h} = \frac{ \sqrt{2} }{2}\]

Згорнемо це рівняння і знайдемо значення \(h\):

\(2x^2 - 2h^2 = h^2\)

\(2x^2 = 3h^2\)

\(h = \frac{x}{\sqrt{ \frac{2}{3} }} = \frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

Тепер, знаючи значення \(h\), можемо знайти значення \(a\):

\[a^2 = x^2 - \left( \frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2\]

\[a^2 = x^2 - \frac{3x^2}{2}\]

\[a^2 = \frac{x^2}{2}\]

\[a = \frac{x}{\sqrt{2}}\]

Таким чином, ми отримали значення базових кутів прямокутної трапеції:

\(\sin(\theta) = \frac{a}{h} = \frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\cos(\theta) = - \frac{ \sqrt{2} }{2}\)

Значення косинуса кута \(\theta\) від"ємне, тому що виступ лежить нижче осі \(x\). Зауважте, що косинус базових кутів трапеції має звичайне значення \(\frac{ \sqrt{2} }{2}\), оскільки вони не мають від"ємного позиціонування.