с детальным решением. На производстве производятся электрические лампочки. Средняя доля дефектных составляет

Роза

55

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение, потому что у нас есть серия идентичных испытаний с двумя возможными исходами - лампочка исправна или неисправна.

а) Для нахождения вероятности того, что ровно три лампочки будут неисправными, мы можем использовать формулу биномиального распределения:
\[P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
Где:
- \(P(X=k)\) это вероятность того, что ровно k лампочек из n будет неисправными,
- \(C(n,k)\) это количество сочетаний из n по k (т.е. количество способов выбрать k лампочек из n),
- p это вероятность того, что одна лампочка будет неисправной,
- n это общее количество лампочек в упаковке.

В нашем случае, n = 6 (в упаковке из шести лампочек), p = 0.03 (доля дефектных лампочек).

Таким образом, для ровно трех неисправных лампочек, мы имеем:
\[P(X=3) = C(6,3) \cdot 0.03^3 \cdot (1-0.03)^{6-3}\]

Вычислим это значение:
\[P(X=3) = \binom{6}{3} \cdot 0.03^3 \cdot (1-0.03)^3 = 20 \cdot 0.03^3 \cdot (1-0.03)^3\]

После вычислений, получаем:
\[P(X=3) \approx 0.0153\] или округленно до четырех знаков после запятой: 0.0153.

Таким образом, вероятность того, что ровно три лампочки в упаковке из шести будут неисправными, составляет примерно 0.0153 или 1.53%.

б) Чтобы найти вероятность того, что более одна лампочка будет неисправной, можно вычислить вероятность обратного события (все лампочки исправны) и вычесть его из 1.

Вероятность того, что все шесть лампочек будут исправными:
\[P(\text{все исправны}) = (1-0.03)^6 = 0.97^6\]

Таким образом, вероятность того, что более одна лампочка будет неисправной:
\[P(\text{более одной неисправно}) = 1 - P(\text{все исправны})\]
\[P(\text{более одной неисправно}) = 1 - 0.97^6\]

После вычислений, получаем:
\[P(\text{более одной неисправно}) \approx 0.1458\] или округленно до четырех знаков после запятой: 0.1458.

Таким образом, вероятность того, что более одна лампочка из шести окажется неисправной, составляет примерно 0.1458 или 14.58%.

в) Чтобы оценить вероятность возникновения этих событий, мы уже нашли следующие значения:
- Вероятность того, что ровно три лампочки будут неисправными: 0.0153 или 1.53%.
- Вероятность того, что более одна лампочка окажется неисправной: 0.1458 или 14.58%.

Таким образом, мы уже оценили вероятность возникновения этих событий на основе данной информации.