С геометрией: Если меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 5 м, а высота параллелепипеда равна

Львица

38

Конечно! Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный параллелепипед, у которого меньшая сторона основания равна 5 м, а высота равна 12 м. Мы хотим узнать длину диагонали параллелепипеда под определенным углом.

1. Пусть АВСD - прямоугольник, являющийся основанием параллелепипеда.

2. Соединим точки B и D линией, получим диагональ параллелепипеда. Обозначим ее как BD.

3. Обозначим точку на диагонали (между точками B и D) как М.

4. Так как мы знаем угол между диагональю BD и меньшей боковой гранью (BC), который равен 30°, то это говорит нам о непрямоугольности треугольника BCD. Из этого следует, что треугольник BCD - неравнобедренный.

5. Чтобы нам найти длину диагонали BD, нам понадобится теорема косинусов.

6. Воспользуемся формулой для нахождения длины диагонали BD по теореме косинусов:

\[
BD^{2} = AB^{2} + AM^{2} - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(BAM)
\]

7. Для начала найдем AB (подставим из условия основания), которое равно 5 м.

8. Найдем угол BAM. У нас известен угол BCD, который равен 30°, и угол MAC, который является прямым (так как MB - высота параллелепипеда). Значит, угол BAM равен сумме углов BCD и MAC, то есть 90° + 30° = 120°.

9. Теперь можем подставить все значения в формулу:

\[
BD^{2} = (5 \ м)^{2} + AM^{2} - 2 \cdot 5 \cdot AM \cdot \cos(120^\circ)
\]

10. AM - это высота параллелепипеда, которая равна 12 м.

\[
BD^{2} = 25 \ м^{2} + 144 \ м^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)
\]

11. Посчитаем значение косинуса 120°. Косинус 120° равен -0.5.

\[
BD^{2} = 25 \ м^{2} + 144 \ м^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 12 \cdot -0.5
\]

12. Выполним необходимые вычисления:

\[
BD^{2} = 25 \ м^{2} + 144 \ м^{2} + 60 \ м^{2}
\]

\[
BD^{2} = 229 \ м^{2}
\]

13. Извлечем корень из обеих частей уравнения:

\[
BD = \sqrt{229} \ м
\]

14. В итоге получаем, что длина диагонали параллелепипеда составляет \(\sqrt{229}\) метров.

Полученный ответ точен и учитывает все данные из условия задачи. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!