1. Каково отношение стороны основания призмы к стороне основания пирамиды, если высота правильной треугольной призмы

Bulka

34

Конечно, я помогу вам с этими задачами. Давайте начнем с первой задачи.

1. Для начала, давайте обозначим стороны основания призмы как \(a\), а сторону основания пирамиды как \(b\).

Условие говорит нам, что высота правильной треугольной призмы в два раза меньше высоты треугольной пирамиды. Давайте обозначим высоты как \(h_1\) для призмы и \(h_2\) для пирамиды.

Также условие говорит нам, что объемы призмы и пирамиды равны. Обозначим объемы как \(V_1\) для призмы и \(V_2\) для пирамиды.

Известно, что объемы призмы и пирамиды равны, поэтому мы можем написать уравнение:

\[V_1 = V_2\]

Объем призмы можно выразить как площадь основания призмы умноженную на высоту призмы:

\[V_1 = S_1 \cdot h_1\]

Объем пирамиды можно выразить как одну треть объема призмы:

\[V_2 = \frac{1}{3} \cdot S_2 \cdot h_2\]

Также из условия известно, что высота призмы в два раза меньше высоты пирамиды:

\[h_1 = \frac{1}{2} \cdot h_2\]

Теперь мы можем записать систему уравнений и решить ее. Отношение сторон основания призмы к стороне основания пирамиды будет равно:

\[\frac{a}{b} = ?\]

Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
V_1 = S_1 \cdot h_1\\
V_2 = \frac{1}{3} \cdot S_2 \cdot h_2\\
h_1 = \frac{1}{2} \cdot h_2
\end{cases}
\]

Начнем с уравнения объема призмы:

\[V_1 = S_1 \cdot h_1\]

Подставим выражение для \(h_1\):

\[V_1 = S_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot h_2\]

Теперь запишем уравнение объема пирамиды:

\[V_2 = \frac{1}{3} \cdot S_2 \cdot h_2\]

Мы знаем, что объемы призмы и пирамиды равны, поэтому:

\[V_1 = V_2\]

Теперь подставим значения объемов:

\[S_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot h_2 = \frac{1}{3} \cdot S_2 \cdot h_2\]

Мы можем сократить \(h_2\) с обеих сторон уравнения:

\[S_1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \cdot S_2\]

Теперь можем решить уравнение относительно сторон основания призмы и пирамиды:

\[\frac{a}{b} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, отношение стороны основания призмы к стороне основания пирамиды равно \(\frac{3}{2}\).

Перейдем к второй задаче.

2. Нам нужно найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг меньшего основания. Для начала, важно заметить, что при вращении прямоугольной трапеции мы получаем вращение вокруг оси, параллельной меньшему основанию.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема тела вращения. Обозначим объем тела как \(V\), а меньшее основание прямоугольной трапеции как \(a\).

Формула объема тела вращения выглядит следующим образом:

\[V = \pi \cdot \int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx\]

Где \(b\) - это большее основание прямоугольной трапеции.

Перейдем к решению задачи:

Дано:
Большее основание прямоугольной трапеции (\(b\)) = 5 см,
Большая боковая сторона (\(l\)) = \(\sqrt{2}\) см,
Острый угол (\(\theta\)) = 45°.

Для начала, давайте найдем меньшее основание прямоугольной трапеции. Для этого, мы можем использовать тригонометрические соотношения для данного острого угла.

Мы знаем, что тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

\(\tan(\theta) = \frac{l}{a}\)

Подставим значения:

\(\tan(45°) = \frac{\sqrt{2}}{a}\)

Упростим выражение:

\(1 = \frac{\sqrt{2}}{a}\)

Теперь найдем \(a\):

\(a = \frac{\sqrt{2}}{1}\)

\(a = \sqrt{2}\) см

Теперь, когда у нас есть значения основания, мы можем использовать формулу для объема тела вращения:

\[V = \pi \cdot \int_{\sqrt{2}}^{5} f(x)^2 \, dx\]

Функция \(f(x)\) представляет собой ширину трапеции в зависимости от \(x\). Поскольку у нас прямоугольная трапеция, ширина будет постоянной.

Таким образом, \(f(x)\) будет просто равно меньшему основанию прямоугольной трапеции \(a\). Заменим \(f(x)\) на \(a\) в формуле объема:

\[V = \pi \cdot \int_{\sqrt{2}}^{5} a^2 \, dx\]

Интегрируем:

\[V = \pi \cdot \left[a^2 \cdot x\right]_{\sqrt{2}}^{5}\]

Подставим значения:

\[V = \pi \cdot \left[a^2 \cdot 5 - a^2 \cdot \sqrt{2}\right]\]

Упростим:

\[V = \pi \cdot a^2 \cdot (5 - \sqrt{2})\]

Подставим значение \(a\):

\[V = \pi \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (5 - \sqrt{2})\]

Упростим:

\[V = \pi \cdot 2 \cdot (5 - \sqrt{2})\]

Таким образом, объем тела, полученного в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг меньшего основания, равен \(\pi \cdot 2 \cdot (5 - \sqrt{2})\) кубических сантиметров.

Очень надеюсь, что это решение было понятным и полезным для вас. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!