С какой задержкой от начала движения смещение точки первый раз достигнет половины амплитуды, если начальная фаза

Magiya_Reki

60

Период колебаний данной системы обозначим как \(T\), а амплитуду - как \(A\). Мы должны найти задержку времени (\(t\)), с которой смещение точки первый раз достигнет половины амплитуды.

Для решения этой задачи нам понадобятся амплитуда и начальная фаза колебаний. Мы можем использовать правило гармонического колебания для нахождения смещения точки в зависимости от времени:

\[x = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)\]

где \(x\) - смещение точки, \(\omega\) - угловая частота колебаний, \(t\) - время, а \(\varphi\) - начальная фаза колебаний.

Угловая частота (\(\omega\)) можно выразить через период (\(T\)) следующим образом:

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Таким образом, уравнение для смещения точки примет вид:

\[x = A \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} t + \varphi\right)\]

Мы знаем, что смещение точки должно достичь половины амплитуды (\(x = \frac{A}{2}\)), поэтому мы можем записать:

\[\frac{A}{2} = A \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} t + \varphi\right)\]

Мы можем решить это уравнение для \(t\) с помощью арксинуса. Тогда получим:

\[\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{T} t + \varphi\right)\]

Теперь найдем аргумент синуса, равный \(\frac{1}{2}\):

\[\frac{2\pi}{T} t + \varphi = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\]

где \(n\) - целое число, определяющее количество полных периодов колебаний. Давайте найдем значение \(n\). Учитывая, что начальная фаза колебаний составляет \(15^\circ = \frac{\pi}{12}\), можем записать:

\[\frac{2\pi}{T} \cdot 0 + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\]

Отсюда следует:

\[\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\]
\[\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6} = 2\pi n\]
\[\frac{\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = 2\pi n\]
\[-\frac{\pi}{12} = 2\pi n\]
\[n = -\frac{1}{24}\]

Поскольку \(n\) должно быть целым числом, опустим значение \(n\). Теперь мы можем найти \(t\):

\[\frac{2\pi}{T} t + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\]
\[\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12}\]
\[\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{12}\]
\[t = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{T}{2\pi}\]
\[t = \frac{T}{24}\]

Итак, задержка от начала движения до достижения половины амплитуды равна \(\frac{T}{24}\).