С какой задержкой от начала движения смещение точки первый раз достигнет половины амплитуды, если начальная фаза

Magiya_Reki

60

Период колебаний данной системы обозначим как $T$, а амплитуду - как $A$. Мы должны найти задержку времени ($t$), с которой смещение точки первый раз достигнет половины амплитуды.

Для решения этой задачи нам понадобятся амплитуда и начальная фаза колебаний. Мы можем использовать правило гармонического колебания для нахождения смещения точки в зависимости от времени:

$$x=A\cdot \sin (\omega t+\phi )$$

где $x$ - смещение точки, $\omega$ - угловая частота колебаний, $t$ - время, а $\phi$ - начальная фаза колебаний.

Угловая частота ($\omega$) можно выразить через период ($T$) следующим образом:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$

Таким образом, уравнение для смещения точки примет вид:

$$x=A\cdot \sin (\frac{2\pi }{T}t+\phi )$$

Мы знаем, что смещение точки должно достичь половины амплитуды ($x=\frac{A}{2}$), поэтому мы можем записать:

$$\frac{A}{2}=A\cdot \sin (\frac{2\pi }{T}t+\phi )$$

Мы можем решить это уравнение для $t$ с помощью арксинуса. Тогда получим:

$$\frac{1}{2}=\sin (\frac{2\pi }{T}t+\phi )$$

Теперь найдем аргумент синуса, равный $\frac{1}{2}$:

$$\frac{2\pi }{T}t+\phi =\frac{\pi }{6}+2\pi n$$

где $n$ - целое число, определяющее количество полных периодов колебаний. Давайте найдем значение $n$. Учитывая, что начальная фаза колебаний составляет ${15}^{\circ }=\frac{\pi }{12}$, можем записать:

$$\frac{2\pi }{T}\cdot 0+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}+2\pi n$$

Отсюда следует:

$$\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}+2\pi n$$
$$\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{6}=2\pi n$$
$$\frac{\pi }{12}-\frac{2\pi }{12}=2\pi n$$
$$-\frac{\pi }{12}=2\pi n$$
$$n=-\frac{1}{24}$$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, опустим значение $n$. Теперь мы можем найти $t$:

$$\frac{2\pi }{T}t+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$$
$$\frac{2\pi }{T}t=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{12}$$
$$\frac{2\pi }{T}t=\frac{\pi }{12}$$
$$t=\frac{\pi }{12}\cdot \frac{T}{2\pi }$$
$$t=\frac{T}{24}$$

Итак, задержка от начала движения до достижения половины амплитуды равна $\frac{T}{24}$.