С помощью метода случайного бесповторного отбора было обследовано 2000 семей из 100 тыс., проживающих в городе а
С помощью метода случайного бесповторного отбора было обследовано 2000 семей из 100 тыс., проживающих в городе "а". В анкетах был задан вопрос: проживает ли семья в квартире более 10 лет? Из всех семей 600 ответили утвердительно. Пожалуйста, определите с вероятностью 0.997 долю семей, проживающих в квартире более 10 лет в городе "а" по всей совокупности.
Зинаида 23
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения доверительного интервала для пропорции в случае большой выборки.Доля семей, проживающих в квартире более 10 лет в городе "а" во всей совокупности можно обозначить как \( p \). Дано, что из обследованных 2000 семей, 600 ответили утвердительно на данный вопрос.
Мы можем считать данную выборку большой, так как размер выборки превышает 30, и это позволяет использовать нормальное распределение для нахождения доверительного интервала.
Для определения доли семей, проживающих в квартире более 10 лет с вероятностью 0.997, нам необходимо найти доверительный интервал. Формула для расчета доверительного интервала пропорции имеет вид:
\[ p - z \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leq \hat{p} \leq p + z \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
где:
- \( p \) - доля семей, проживающих в квартире более 10 лет в городе "а" по всей совокупности (неизвестное значение, которое нужно определить).
- \( \hat{p} \) - выборочная доля (отношение количества ответивших утвердительно к общей выборке).
- \( z \) - значение стандартного нормального распределения, соответствующее требуемой вероятности \( 0.997 \).
- \( n \) - объем выборки.
Мы знаем, что выборочная доля составляет \(\hat{p} = \frac{600}{2000} = 0.3\).
Введем значение \( z \), соответствующее требуемой вероятности \( 0.997 \). Используем таблицу значений стандартного нормального распределения или калькулятор, чтобы найти соответствующее значение \( z \). Значение \( z \approx 2.967 \).
Используя формулу для доверительного интервала, подставим известные значения:
\[ 0.3 - 2.967 \cdot \sqrt{\frac{0.3(1-0.3)}{2000}} \leq p \leq 0.3 + 2.967 \cdot \sqrt{\frac{0.3(1-0.3)}{2000}} \]
Произведем необходимые вычисления:
\[ 0.3 - 2.967 \cdot \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{2000}} \leq p \leq 0.3 + 2.967 \cdot \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{2000}} \]
\[ 0.3 - 2.967 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{2000}} \leq p \leq 0.3 + 2.967 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{2000}} \]
\[ 0.274 \leq p \leq 0.326 \]
Таким образом, с вероятностью 0.997 доля семей, проживающих в квартире более 10 лет в городе "а" по всей совокупности составляет от 0.274 до 0.326.