С помощью векторов докажите, что середина bb1 принадлежит прямой, проходящей через вершину a и середину стороны

Лунный_Свет

64

Для доказательства этого факта воспользуемся свойством векторов. Предположим, что треугольник ABC задан векторами \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{B}\) и \(\overrightarrow{C}\), а середины сторон AB и BC обозначим как M и N соответственно.

Выберем произвольную точку P на прямой, проходящей через вершину A и середину стороны BC. Обозначим векторы \(\overrightarrow{P}\), \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{M}\) и \(\overrightarrow{N}\) как \(\overrightarrow{P}\), \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{M}\) и \(\overrightarrow{N}\) соответственно.

Чтобы доказать, что точка bb1 является серединой отрезка \(BB_1\), нам нужно показать, что \(\overrightarrow{bb_1} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{BB_1}\).

Для начала заметим, что векторы \(\overrightarrow{M}\) и \(\overrightarrow{N}\) могут быть выражены следующим образом:

\(\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})\)

\(\overrightarrow{N} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})\)

Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{bb_1}\). Поскольку \(\overrightarrow{bb_1}\) - это разность векторов \(\overrightarrow{B}\) и \(\overrightarrow{B_1}\), мы можем записать:

\(\overrightarrow{bb_1} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{B_1}\)

Соответственно, мы можем выразить \(\overrightarrow{bb_1}\) через векторы \(\overrightarrow{B}\) и \(\overrightarrow{C}\):

\(\overrightarrow{bb_1} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{N}\)

Обратим внимание, что:

\(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{N} = \overrightarrow{B} - \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C})\)

Теперь сравним вектор \(\overrightarrow{bb_1}\) с \(\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{BB_1}\):

\(\frac{1}{2}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{C})\)

Таким образом, мы видим, что \(\overrightarrow{bb_1} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{BB_1}\). Из этого следует, что точка bb1 является серединой отрезка \(BB_1\).

Таким образом, мы доказали, что середина \(bb_1\) принадлежит прямой, проходящей через вершину A и середину стороны BC треугольника.