Какова площадь поверхности шара, который разделен секущей плоскостью на две части с объемами 720пи см³ и 252пи см³?

Baska

32

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться формулами, связывающими объем и площадь поверхности шара.

Давайте начнем с формулы для объема шара:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(V\) - объем шара, а \(r\) - радиус шара.

Мы знаем, что объем одной из частей шара равен 720пи см³:

\[V_1 = 720\pi \,см³\]

И объем другой части шара равен 252пи см³:

\[V_2 = 252\pi \,см³\]

Теперь мы можем установить следующее соотношение между радиусами шара и объемами его частей:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3}\]

Где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы частей шара.

Упрощая данное соотношение, получим:

\[\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{V_1}{V_2}\]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности шара, нужно воспользоваться формулой для площади поверхности шара:

\[S = 4 \pi r^2\]

Где \(S\) - площадь поверхности шара.

Для нашего решения задачи нам понадобится только соотношение между площадями поверхностей частей шара и соответствующими радиусами:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}\]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности шара, нужно умножить это соотношение на площадь поверхности одной из частей:

\[S = S_1 + S_2 = S_1 + \frac{S_1}{\frac{r_1^2}{r_2^2}}\]

Воспользуемся соотношением, которое мы получили ранее для радиусов:

\[\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{V_1}{V_2}\]

Теперь подставим наши значения объемов:

\[\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{720\pi}{252\pi} = \frac{720}{252}\]

Теперь найдем отношение радиусов:

\[\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{720}{252}} = \sqrt[3]{\frac{10}{3}}\]

Используя это значение, можно записать выражение для площади поверхности шара:

\[S = S_1 + \frac{S_1}{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2} = S_1 + \frac{S_1}{\left(\sqrt[3]{\frac{10}{3}}\right)^2} = S_1 + \frac{S_1}{\frac{10}{3}} = S_1 + \frac{3S_1}{10}\]

Теперь подставим значение площади первой части:

\[S = 720\pi + \frac{3 \cdot 720\pi}{10} = 720\pi + \frac{2160\pi}{10} = 720\pi + 216\pi = 936\pi \,см²\]

Таким образом, площадь поверхности данного шара составляет \(936\pi \,см²\).