С углом N=30°, основанием KL и MN, длинами KL=4, MN=12 и KN=10, какова площадь трапеции Klmn?

Золотой_Медведь

56

Для решения задачи, мы можем воспользоваться формулой для площади трапеции: \(S=\frac{{a+b}}{2}h\), где \(a\) и \(b\) - длины оснований, а \(h\) - высота трапеции.

Нам даны длины оснований KL и MN, которые равны 4 и 12 соответственно. Нам также известна длина боковой стороны KN, которая равна 10.

Чтобы найти высоту трапеции, давайте воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника KMN, где угол N равен 30°.

Так как KL и MN являются основаниями, то высота трапеции будет являться расстоянием между ними — KM. Давайте воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения KM.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике KMN с гипотенузой KN и углом N равным 30°, можно записать следующее соотношение:

\[KN^2 = KL^2 + LM^2.\]

Заменим известные значения и найдем длину LM:

\[10^2 = 4^2 + LM^2.\]

\[100 = 16 + LM^2.\]

Вычтем 16 из обеих сторон и найдем LM:

\[LM^2 = 84.\]

\[LM = \sqrt{84}.\]

Теперь у нас есть длины оснований KL и MN, а также длина высоты LM. Мы можем вычислить площадь трапеции по формуле:

\[S = \frac{{KL + MN}}{2} \cdot LM.\]

Подставим известные значения:

\[S = \frac{{4 + 12}}{2} \cdot \sqrt{84}.\]

\[S = \frac{{16}}{2} \cdot \sqrt{84}.\]

\[S = 8 \cdot \sqrt{84}.\]

Чтобы получить приближенное численное значение площади, давайте найдем значение корня:

\[\sqrt{84} \approx 9.165.\]

Теперь мы можем вычислить:

\[S \approx 8 \cdot 9.165 \approx 73.32.\]

Таким образом, площадь трапеции KLMN составляет примерно 73.32 квадратных единицы.