Сани з масою 120 кг рухаються вниз по горі довжиною 20 метрів, яка нахилена під кутом 30 градусів до горизонту. В який

Звездная_Тайна

41

Для решения данной задачи нам понадобятся законы динамики и принцип сохранения энергии. Начнем с определения сил, действующих на сани.

Первая сила, оказывающая влияние на сани, - это сила тяжести \( F_g \). Она равна произведению массы саней \( m \) на ускорение свободного падения \( g \). В нашем случае, ускорение свободного падения \( g \) в районе 9,8 м/с²:

\[ F_g = m \cdot g = 120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \]

Следующая сила, с которой мы должны ознакомиться, - это сила трения \( F_f \). Для вычисления силы трения нам необхожимо знать коэффициент трения \( \mu \), который в данной задаче равен 0,02. Сила трения \( F_f \) равна произведению коэффициента трения \( \mu \) на нормальную силу \( F_n \), где \( F_n \) равна произведению массы на саней на ускорение свободного падения \( g \) и косинус угла наклона поверхности:

\[ F_n = m \cdot g \cdot \cos(\theta) = 120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \cdot \cos(30^\circ) \]

\[ F_f = \mu \cdot F_n = 0.02 \cdot (120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \cdot \cos(30^\circ)) \]

Теперь, когда мы знаем все силы, действующие на сани, их можно использовать для решения этой задачи. Для этого мы воспользуемся законами динамики.

Первый закон Ньютона гласит, что сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы на ускорение этого тела. В нашем случае нет горизонтальной силы, поэтому ускорение саней будет равно ускорению свободного падения:

\[ \sum F = m \cdot a = 120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \]

Поскольку горизонтальная составляющая силы тяжести и сила трения будут сбалансированы при движении саней вниз по склону, \( \sum F \) сводится только к силе тяжести и она направлена вниз по горе.

Теперь, зная сумму сил, мы можем найти ускорение саней:

\[ m \cdot a = 120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \]

Отсюда получаем ускорение \( a \).

Итак, у нас есть ускорение саней. Теперь мы можем использовать принцип сохранения энергии, чтобы найти их скорость и время, когда они достигнут основания склона.

Начнем с определения полной механической энергии системы, которая состоит из кинетической энергии и потенциальной энергии:

\[ E_{\text{полная}} = E_{\text{кинетическая}} + E_{\text{потенциальная}} \]

На начальном уровне (высоте), энергия у нас только потенциальная, а на конечном (на земле) - только кинетическая. Поскольку в начальный момент времени санями не обладает ни кинетической, ни потенциальной энергии, полная энергия системы сохраняется:

\[ E_{\text{потенциальная\_начальная}} = E_{\text{кинетическая\_конечная}} \]

Вычислим значениe потенциальной энергии в начальной точке, где \( h \) - высота начала склона:

\[ E_{\text{потенциальная\_начальная}} = m \cdot g \cdot h \]

Теперь, зная, что кинетическая энергия в конечной точке равна полной механической энергии системы, вычислим кинетическую энергию в конечной точке, используя формулу:

\[ E_{\text{кинетическая\_конечная}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Теперь, когда у нас есть выражения для начальной и конечной энергии, мы можем приравнять их и найти скорость \( v \) саней в момент их прихода внизу склона:

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Используя это уравнение, мы можем найти \( v \). Теперь мы можем использовать ускорение, чтобы найти время, которое потребуется саням, чтобы достичь нижней точки склона. Используем для этого ускорение и формулу связи:

\[ v = u + a \cdot t \]

\[ 0 = u + a \cdot t \]

Где \( u \) - начальная скорость, которая равна 0, так как сани начинают движение со спокойной и стационарной позиции. Теперь мы можем решить это уравнение для \( t \) и найти время, за которое сани дойдут до нижней точки склона.

Для решения этих уравнений достаточно взять заданные значения массы саней \( m \), ускорения свободного падения \( g \), угла наклона склона \( \theta \), и коэффициента трения \( \mu \):

\[ F_g = m \cdot g = 120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \]
\[ F_n = m \cdot g \cdot \cos(\theta) = 120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \cdot \cos(30^\circ) \]
\[ F_f = \mu \cdot F_n = 0.02 \cdot (120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \cdot \cos(30^\circ)) \]
\[ m \cdot a = 120 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с²} \]
\[ E_{\text{потенциальная\_начальная}} = m \cdot g \cdot h \]
\[ E_{\text{кинетическая\_конечная}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]
\[ 0 = u + a \cdot t \]

Подставим заданные значения в формулы и выполним вычисления, чтобы получить окончательный ответ. Решением будут значения скорости и времени, в конечном результате получим:

Скорость саней \( v \) при достижении нижней точки склона: ...