Саша приобрел три разновидности шоколадных батончиков: крупные, средние и маленькие. За крупный батончик он заплатил

Fontan

58

Пусть \(x\) обозначает количество крупных батончиков, \(y\) - количество средних батончиков, а \(z\) - количество маленьких батончиков, которые приобрел Саша.

Мы знаем, что Саша купил в общей сложности 10 батончиков. То есть, мы можем записать первое уравнение:
\[x + y + z = 10 \quad (1)\]

Мы также знаем стоимость каждого типа батончика. Это даёт нам второе уравнение:
\[4x + 2y + z = 16 \quad (2)\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Мы можем решить эту систему с помощью метода подстановки или метода сложения и вычитания.

Давайте воспользуемся методом сложения и вычитания. Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2 во втором уравнении:
\[2x + 2y + 2z = 20 \quad (3)\]

Теперь мы вычтем уравнение (2) из уравнения (3), чтобы избавиться от неизвестной \(z\):
\[(2x + 2y + 2z) - (4x + 2y + z) = 20 - 16\]
\[2x + 2y + 2z - 4x - 2y - z = 4\]

Упростим это уравнение:
\[-2x - z = 4 \quad (4)\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{align*}
x + y + z &= 10 \quad (1) \\
-2x - z &= 4 \quad (4)
\end{align*}\]

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения и вычитания.
For example, let"s solve it using the method of addition and subtraction. We can multiply equation (1) by 2 to eliminate the coefficient 2 in equation (4):

\[2(x + y + z) = 2(10)\]
\[2x + 2y + 2z = 20 \quad (5)\]

Now, we subtract equation (4) from equation (5) to eliminate the unknown \(z\):

\[(2x + 2y + 2z) - (-2x - z) = 20 - 4\]
\[2x + 2y + 2z + 2x + z = 16\]
\[4x + 3y + 3z = 16 \quad (6)\]

Now we have a new equation (6) and the original equation (1):

\[\begin{align*}
4x + 3y + 3z &= 16 \quad (6) \\
x + y + z &= 10 \quad (1)
\end{align*}\]

We can solve this system of equations using the method of substitution or elimination.
To solve it using the method of elimination, let"s multiply equation (1) by 3 and equation (6) by 1 to create opposite coefficients for the \(y\) term:

\[3(x + y + z) = 3(10)\]
\[3x + 3y + 3z = 30 \quad (7)\]

\[1(4x + 3y + 3z) = 1(16)\]
\[4x + 3y + 3z = 16 \quad (8)\]

Now, we subtract equation (8) from equation (7) to eliminate the \(y\) term:

\[(3x + 3y + 3z) - (4x + 3y + 3z) = 30 - 16\]
\[-x = 14\]

Divide both sides of the equation by -1 to isolate \(x\):
\[x = -14\]

Now we substitute this value of \(x\) into equation (1) to solve for \(y\):
\[-14 + y + z = 10\]
\[y + z = 10 + 14\]
\[y + z = 24\]

Both \(y\) and \(z\) are positive integers, so we need to find two numbers that sum up to 24. Let"s consider a few options:
\[y = 1, z = 23\]
\[y = 2, z = 22\]
\[y = 3, z = 21\]
\[y = 4, z = 20\]

We can see that the sum of \(y\) and \(z\) does not equal 24 in any of these cases. Therefore, there are no solutions that satisfy all the conditions of the problem.

Thus, there are no possible quantities of each type of chocolate bar that Sasha could have purchased.