Считая, что производится три выстрела по мишени, какова вероятность попадания в мишень первым выстрелом (с вероятностью

Magicheskiy_Edinorog

47

Для решения данной задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, так как мы рассматриваем количество успешных исходов (попаданий в мишень) из определенного количества испытаний (выстрелов).

Дано, что вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,4, вероятность попадания вторым выстрелом равна 0,5 и вероятность попадания третьим выстрелом равна 0,6.

Пусть случайная величина \(X\) представляет собой количество попаданий в мишень из трех выстрелов.

Таким образом, для каждого выстрела у нас есть два возможных исхода: попадание и промах. Вероятность попадания составляет 0,4 для первого выстрела, 0,5 для второго выстрела и 0,6 для третьего выстрела. Вероятность промаха будет равна 1 минус вероятность попадания.

Чтобы определить вероятность каждого исхода, мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что случайная величина \(X\) принимает значение \(k\);
- \(n\) - общее количество испытаний (выстрелов), в данном случае трех;
- \(k\) - количество успешных исходов (попаданий в мишень);
- \(p\) - вероятность успешного исхода (попадания в мишень).

Теперь найдем вероятность попадания в мишень первым, вторым и третьим выстрелом, а также вероятность промаха.

Вероятность попадания первым выстрелом (\(P(X = 1)\)):
\[P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0,4)^1 \cdot (1 - 0,4)^{3 - 1} = 3 \cdot 0,4 \cdot 0,6^2 = 0,432\]

Вероятность попадания вторым выстрелом (\(P(X = 2)\)):
\[P(X = 2) = C(3, 2) \cdot (0,5)^2 \cdot (1 - 0,5)^{3 - 2} = 3 \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^1 = 0,375\]

Вероятность попадания третьим выстрелом (\(P(X = 3)\)):
\[P(X = 3) = C(3, 3) \cdot (0,6)^3 \cdot (1 - 0,6)^{3 - 3} = 1 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^0 = 0,216\]

Таким образом, вероятность попадания первым выстрелом составляет 0,432, вероятность попадания вторым выстрелом - 0,375, а вероятность попадания третьим выстрелом - 0,216.

Sladex :)