Що таке значення косинусу кута а трикутника АВС, якщо відомо, що точки А, В і С мають координати (-3; 1), (1; 3

Dobryy_Ubiyca

32

Щоб знайти значення косинуса кута, нам знадобиться використати формулу косинусів для трикутників. Формула гласить:

\[
\cos(\theta) = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}
\]

де \(\theta\) - це кут між двома сторонами трикутника, \(a\), \(b\) - довжини цих сторін, а \(c\) - довжина третьої сторони.

Спочатку ми визначимо довжини сторін трикутника АВС. Використовуючи формулу відстані між двома точками у двовимірному просторі, отримуємо:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} \]
\[ AC = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \]

Підставляємо відповідні значення координат:

\[ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \]
\[ BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} \]
\[ AC = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Підставляємо ці значення у формулу косинусів:

\[
\cos(\theta) = \frac{{AB^2 + BC^2 - AC^2}}{{2 \cdot AB \cdot BC}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{\sqrt{20}^2 + \sqrt{80}^2 - 10^2}}{{2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{80}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{20 + 80 - 100}}{{2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{80}}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{0}}{{2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{80}}}
\]

\[
\cos(\theta) = 0
\]

Отже, значення косинуса кута \(\theta\) в даному трикутнику АВС дорівнює 0.