Сегмент h, катет b и острый угол theta являются искомыми элементами прямоугольного треугольника, заданного катетом

Ярослава

63

Школьникам, чтобы найти искомые элементы \(h\), \(b\) и \(\theta\) прямоугольного треугольника, нам понадобятся некоторые математические формулы и свойства треугольников. Давайте начнём.

У нас есть прямоугольный треугольник с катетом \(a = 8\) см и смежным углом \(\alpha = 54\) градуса.

1. Найдём \(b\) (катет треугольника):

Используем формулу синуса \( \sin(\alpha) = \frac{b}{a}\), где \(\alpha = 54^\circ\).

\[\sin(54^\circ) = \frac{b}{8}\]

Чтобы найти \(b\), умножим обе стороны уравнения на 8:

\[b = 8 \cdot \sin(54^\circ)\]

Давайте посчитаем значение:

\[b = 8 \cdot \sin(54^\circ) \approx 6.47 \text{ см}\]

Таким образом, длина катета \(b\) примерно равна 6.47 см.

2. Найдём \(h\) (сегмент треугольника):

Чтобы найти длину сегмента \(h\), воспользуемся формулой косинуса: \( \cos(\alpha) = \frac{h}{a}\), где \(\alpha = 54^\circ\).

\[\cos(54^\circ) = \frac{h}{8}\]

Умножим обе стороны уравнения на 8 и решим его:

\[h = 8 \cdot \cos(54^\circ)\]

Посчитаем значение \(h\):

\[h = 8 \cdot \cos(54^\circ) \approx 4.86 \text{ см}\]

Таким образом, длина сегмента \(h\) примерно равна 4.86 см.

3. Найдём \(\theta\) (острый угол):

Острый угол \(\theta\) можно найти, используя формулу синуса: \( \sin(\theta) = \frac{h}{c}\), где \(c\) — гипотенуза треугольника.

Мы знаем, что гипотенуза \(c\) равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Подставим значения \(a\) и \(b\):

\[c = \sqrt{8^2 + 6.47^2}\]

Рассчитаем значение гипотенузы \(c\):

\[c \approx \sqrt{64 + 41.9} \approx 9.07 \text{ см}\]

Теперь, используем формулу для нахождения угла \(\theta\):

\[\sin(\theta) = \frac{h}{c}\]

\[\sin(\theta) = \frac{4.86}{9.07}\]

Чтобы найти угол \(\theta\), возьмём арксинус от обеих сторон:

\[\theta = \arcsin\left(\frac{4.86}{9.07}\right)\]

Получим значение угла \(\theta\):

\[\theta \approx \arcsin\left(\frac{4.86}{9.07}\right) \approx 0.576 \text{ рад}\]

Чтобы перевести радианы в градусы, умножим полученное значение на \(\frac{180}{\pi}\):

\[\theta \approx 0.576 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 33.06^\circ \]

Таким образом, острый угол \(\theta\) примерно равен \(33.06^\circ\).

В итоге, мы нашли все искомые элементы прямоугольного треугольника: катет \(b \approx 6.47\) см, сегмент \(h \approx 4.86\) см и острый угол \(\theta \approx 33.06^\circ\).