Семейная группа Ивановых, включая родителей и детей, принимает участие в игре Дружная семья . Один из конкурсов

Izumrudnyy_Pegas

56

Чтобы ответить на первый вопрос, мы можем применить принцип умножения. У нас есть три группы людей: взрослые, мальчики и девочки. Предположим, что в семье у Ивановых есть \(n\) взрослых, \(m\) мальчиков и \(k\) девочек.

Сначала выбираем команду взрослых. У нас есть \(n\) взрослых, и мы должны выбрать из них \(n\) человек без учета порядка. Для этого мы используем сочетания без повторений. Количество таких команд будет равно:

\[{n \choose n} = \frac{{n!}}{{n!(n-n)!}} = 1.\]

Затем мы выбираем команду мальчиков. У нас есть \(m\) мальчиков, и мы должны выбрать из них \(m\) человек без учета порядка. Количество таких команд будет равно:

\[{m \choose m} = \frac{{m!}}{{m!(m-m)!}} = 1.\]

Наконец, мы выбираем команду девочек. У нас есть \(k\) девочек, и мы должны выбрать из них \(k\) человек без учета порядка. Количество таких команд будет равно:

\[{k \choose k} = \frac{{k!}}{{k!(k-k)!}} = 1.\]

Так как каждый из этих шагов независим от другого, чтобы найти общее количество семейных команд Ивановых, мы должны перемножить количество команд каждой группы. Таким образом, общее количество семейных команд будет равно:

\[1 \times 1 \times 1 = 1.\]

Значит, можно сформировать только одну семейную команду Ивановых для участия в этой эстафете.

Чтобы ответить на второй вопрос, нам нужно найти количество шестизначных чисел, которые имеют четыре различные цифры в своей десятичной записи.

Для первой цифры числа у нас есть 9 вариантов (от 1 до 9), так как ноль не может быть первой цифрой.

Для второй цифры числа у нас есть 9 вариантов (от 0 до 9, исключая уже использованное число).

Для третьей цифры числа также у нас есть 9 вариантов (от 0 до 9, исключая уже использованные числа).

Для четвертой цифры числа у нас есть 8 вариантов (от 0 до 9, исключая уже использованные числа).

Для пятой цифры числа также у нас есть 7 вариантов (от 0 до 9, исключая уже использованные числа).

Для шестой цифры числа у нас есть 6 вариантов (от 0 до 9, исключая уже использованные числа).

Чтобы получить общее количество шестизначных чисел с четырьмя различными цифрами, мы должны перемножить количество вариантов для каждой цифры. Таким образом, общее количество таких чисел будет равно:

\[9 \times 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 326,592.\]

Значит, существует 326,592 шестизначных чисел, которые имеют четыре различные цифры в своей десятизначной записи.

Чтобы ответить на третий вопрос, нам нужно найти количество шестизначных чисел, в которых цифры чередуются между "четными" (0, 2, 4, 6, 8) и "нечетными" (1, 3, 5, 7, 9).

Если мы начинаем с "четной" цифры, у нас есть 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).

Если мы начинаем с "нечетной" цифры, у нас также есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9).

Для второй цифры числа у нас будет тот же набор вариантов: либо "четная", либо "нечетная".

Продолжая таким образом, мы увидим, что все шестизначные числа соответствуют чередующейся последовательности "четных" и "нечетных" цифр.

Таким образом, общее количество таких шестизначных чисел будет равно

\(5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^6 = 15,625.\)

Значит, можно выбрать 15,625 шестизначных чисел, в которых цифры чередуются между "четными" и "нечетными".