Сформулюйте висновок, що висота рівнобічної трапеції дорівнює її середній лінії, тоді діагоналі трапеції

Kosmicheskaya_Zvezda

43

Для начала, давайте разберемся с определениями для висновку, который нам нужно сформулировать.
Равнобедренная трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны непараллельны. При этом у равнобедренной трапеции две боковые стороны равны, а две основания трапеции – нет.
Высота трапеции - это расстояние между параллельными основаниями. Это перпендикуляр, опущенный из одного основания на противоположное основание.

Для доказательства того, что высота равнобедренной трапеции равна её средней линии, а диагонали трапеции перпендикулярны, воспользуемся свойствами параллелограмма.

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями \(AB\) и \(CD\), где \(AB\) параллельно \(CD\). Зададим эту трапецию на координатной плоскости, так чтобы основания трапеции лежали на оси \(x\), а вершины \(A\) и \(B\) имели координаты \((a, 0)\) и \((b, 0)\) соответственно.

Теперь построим серединную линию \(EF\) равнобедренной трапеции. Так как \(EF\) является серединной линией, она делит боковую сторону трапеции пополам, то есть \(EF\) будет иметь координату \(\left(\frac{a+b}{2}, h\right)\), где \(h\) - это высота трапеции.

Перейдем к доказательству:

Шаг 1: Докажем, что высота трапеции равна серединной линии.
Пусть \(M\) - середина боковой стороны трапеции \(CD\). Тогда координаты точки \(M\) будут \(\left(\frac{a+b}{2}, 0\right)\).
Так как \(M\) лежит на биссектрисе угла при вершине \(C\) равнобедренной трапеции, то отрезок \(AM\) будет перпендикулярен основанию \(AB\), а значит будет являться высотой трапеции.
То есть, высота равнобедренной трапеции равна серединной линии \(EF\).

Шаг 2: Докажем, что диагонали трапеции перпендикулярны.
Для этого нам понадобятся свойства параллелограмма.
Так как равнобедренная трапеция является частным случаем параллелограмма, она будет обладать некоторыми его свойствами.
Известно, что в параллелограмме диагонали делятся пополам.
Таким образом, отрезок \(ME\) будет равен отрезку \(MF\), и это означает, что диагонали трапеции перпендикулярны.

Итак, мы доказали, что высота равнобедренной трапеции равна её средней линии, а диагонали трапеции перпендикулярны.

Такие доказательства очень полезны для лучшего понимания геометрических фигур и их свойств.