Шарик массы m падает с высоты h над поверхностью земли. Момент начала падения совпадает с точкой О системы отсчета

Маркиз_9016

3

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Изначально у нас есть шарик массы \( m \), который падает с высоты \( h \) над поверхностью земли. Момент начала падения совпадает с точкой О нашей системы отсчета. Также нам дано, что точка О движется со скоростью \( v \) в горизонтальном направлении.

Чтобы решить задачу, мы рассмотрим изменение вектора момента импульса шарика, которое происходит за время падения относительно точки О. Для этого вспомним определение момента импульса и его связь с линейным импульсом.

Момент импульса \( L \) определяется как произведение массы \( m \) на скорость \( \mathbf{v} \) и плеча \( \mathbf{r} \), перпендикулярного к направлению скорости. Формально, это записывается как:

\[ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times (m\mathbf{v}) \]

Где \( \times \) обозначает векторное произведение.

В нашей задаче, шарик движется вертикально вниз, поэтому его скорость \( \mathbf{v} \) будет направлена вниз. Но по условию задачи, точка О движется горизонтально со скоростью \( v \). Это означает, что векторное произведение \( \mathbf{r} \times (m\mathbf{v}) \) будет иметь только вертикальную компоненту, так как она перпендикулярна горизонтальному направлению.

Для определения этой вертикальной компоненты изменения момента импульса шарика относительно точки О, мы можем использовать следующую формулу:

\[ \Delta \mathbf{L} = m (\mathbf{v}" - \mathbf{v}) \times \mathbf{r} \]

Где \( \mathbf{v}" \) - это скорость шарика относительно Земли, которая будет равна сумме скорости точки О и скорости шарика относительно точки О.

Так как точка О движется горизонтально со скоростью \( v \), а шарик свободно падает, то вектор \( \mathbf{v}" \) будет иметь только вертикальную компоненту. Поэтому мы можем записать это так:

\[ \mathbf{v}" = \begin{pmatrix} 0 \\ v_z \end{pmatrix} \]

где \( v_z \) - вертикальная компонента скорости шарика относительно Земли.

Теперь нам осталось выразить \( \mathbf{r} \). Учитывая, что шарик падает относительно точки О, расстояние между ними будет равно высоте падения \( h \), а его направление будет направлено вниз. Таким образом, мы можем записать:

\[ \mathbf{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ -h \end{pmatrix} \]

Теперь мы можем вычислить изменение момента импульса шарика относительно точки О. Подставляя значения, получаем:

\[ \Delta \mathbf{L} = m \left( \begin{pmatrix} 0 \\ v_z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix} \right) \times \begin{pmatrix} 0 \\ -h \end{pmatrix} \]

Раскрывая векторное произведение и упрощая выражение, получаем:

\[ \Delta \mathbf{L} = m \begin{pmatrix} 0 \\ v_z - v \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -h \end{pmatrix} \]

\[ \Delta \mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0 \\ m(v_z - v) \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -h \end{pmatrix} \]

\[ \Delta \mathbf{L} = \begin{pmatrix} -mh(v_z - v) \\ 0 \end{pmatrix} \]

Итак, изменение вектора момента импульса шарика относительно точки О будет равно \( \begin{pmatrix} -mh(v_z - v) \\ 0 \end{pmatrix} \).

Это изменение выражает, как векторный момент импульса меняется за время падения шарика относительно точки О. В данной задаче, так как нет сопротивления воздуха, вертикальная компонента скорости шарика \( v_z \) будет оставаться постоянной, поэтому изменение вектора момента импульса будет пропорционально изменению горизонтальной компоненты скорости \( v \) точки О.

Надеюсь, ответ был понятен и подробен для вас!