Скільки існує можливих вибрати власників суперпризів таким чином, щоб серед них була принаймні одна дівчина

Луна_В_Облаках

3

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип комбинаторики, известный как "принцип включений-исключений". Давайте попробуем разобраться шаг за шагом.

Шаг 1: Рассмотрим общее число способов выбрать 3 человек для вручения призов без каких-либо ограничений.
Общее число способов выбрать 3 человек из 25 (15 девочек и 10 мальчиков) равно \(C(25, 3)\). То есть:
\[C(25, 3) = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25\times 24\times 23}{3\times 2\times 1} = 2300.\]

Шаг 2: Теперь рассмотрим число способов выбрать владельцев суперпризов, которые не включают ни одной девочки.
Мы имеем 10 мальчиков, поэтому количество способов выбрать 3 человека из 10 равно \(C(10, 3)\):
\[C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1} = 120.\]

Шаг 3: Рассмотрим число способов выбрать владельцев суперпризов, которые не включают ни одного мальчика.
Мы имеем 15 девочек, поэтому количество способов выбрать 3 человека из 15 равно \(C(15, 3)\):
\[C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15\times 14\times 13}{3\times 2\times 1} = 455.\]

Шаг 4: Наконец, рассмотрим число способов выбрать владельцев суперпризов, которые включают и мальчиков, и девочек.
Для этого мы должны выбрать 3 человека из 10 мальчиков и 15 девочек. Таким образом, количество способов выбрать смешанную группу равно \(C(10, 1) \times C(15, 2)\):
\[C(10, 1) \times C(15, 2) = \frac{10!}{1!(10-1)!} \times \frac{15!}{2!(15-2)!} = 10 \times \frac{15\times 14}{2\times 1} = 1050.\]

Шаг 5: Теперь используем принцип включений-исключений. Общее число способов выбрать владельцев суперпризов таким образом, чтобы среди них была хотя бы одна девочка, равно:
\[C(25, 3) - C(10, 3) - C(15, 3) + C(10, 1) \times C(15, 2).\]
Подставляем значения:

\[\begin{aligned}
C(25, 3) - C(10, 3) - C(15, 3) + C(10, 1) \times C(15, 2) &= 2300 - 120 - 455 + 1050 \\
&= 1775.
\end{aligned}\]

Таким образом, существует 1775 способов выбрать владельцев суперпризов таким образом, чтобы среди них была хотя бы одна девочка.