Сколькими различными способами можно разделить между собой 12 одинаковых квадрокоптеров двум мальчикам так, чтобы

Тигр

59

Эта задача относится к комбинаторике и может быть решена с использованием принципа включения-исключения. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Вычислим общее количество способов разделить 12 квадрокоптеров между двумя мальчиками без ограничений. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний "из n по k" (называется также биномиальным коэффициентом). Здесь n - количество объектов для разделения, а k - количество групп. В данном случае у нас 12 квадрокоптеров и 2 мальчика, поэтому:

\[{12\choose 2} = \frac{12!}{2! \cdot (12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66.\]

Таким образом, без ограничений, существует 66 различных способов разделить 12 квадрокоптеров между двумя мальчиками.

Шаг 2: Теперь давайте рассмотрим случай, когда один из мальчиков не получает ни одного квадрокоптера. Мало кто будет счастлив, если он останется без подарка, поэтому нас интересуют только способы, в которых каждый мальчик получает хотя бы один квадрокоптер.

Представим, что один из мальчиков A получает все 12 квадрокоптеров, а другой мальчик B не получает ничего. Такой вариант у нас один.

Шаг 3: Теперь давайте рассмотрим случай, когда один из мальчиков получает все 12 квадрокоптеров, а второй мальчик получает только один квадрокоптер. Здесь нам будет важно определить, какому из мальчиков достался этот один квадрокоптер, так как они различны.

Итак, первый мальчик A получает все 12 квадрокоптеров, а второй мальчик B получает 1 квадрокоптер. В этом случае у нас есть два варианта, так как квадрокоптер может оказаться у A или B.

Шаг 4: Теперь рассмотрим случай, когда один из мальчиков получает все 12 квадрокоптеров, а второй мальчик получает два квадрокоптера. Также нам будет важно определить, которому из мальчиков достались эти два квадрокоптера.

Вариантов здесь будет три, так как два квадрокоптера могут оказаться у первого мальчика A, у второго мальчика B или по одному квадрокоптеру у каждого мальчика (AABB или ABAB).

Шаг 5: Последний случай, который остался, это когда каждый из мальчиков получает по шесть квадрокоптеров. Здесь также остается только один вариант.

Итак, мы посчитали все случаи, в которых каждый мальчик получает хотя бы один квадрокоптер. Теперь найдем количество способов, в которых каждый мальчик получает хотя бы один квадрокоптер, используя принцип включения-исключения.

Количество способов = общее количество способов - количество способов с первым мальчиком без квадрокоптеров - количество способов со вторым мальчиком без квадрокоптеров + количество способов с обоими мальчиками без квадрокоптеров.

Количество способов = 66 - 1 - 2 + 3 - 1 = 65.

Таким образом, существует 65 различных способов разделить 12 квадрокоптеров между двумя мальчиками так, чтобы каждый из них получил хотя бы один квадрокоптер.