Сколько 1 содержится в двоичной записи выражения (8^1341-4^1342+2^1343-1344)?

Izumrudnyy_Drakon

26

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

1. Вначале, давайте вычислим значение выражения \(8^{1341} - 4^{1342} + 2^{1343} - 1344\).
- Прежде всего, рассмотрим отдельные слагаемые. \(8^{1341}\) - это число 8, возведенное в степень 1341, аналогично для остальных слагаемых.
- Давайте начнем с первого слагаемого, \(8^{1341}\). Это число можно упростить, заметив, что \(8 = 2^3\). Тогда мы можем переписать \(8^{1341}\) как \((2^3)^{1341}\). Применяем свойство степени степени и получим \(2^{3 \cdot 1341}\). Далее, умножаем степень 3 на 1341 и получаем \(2^{4023}\).
- Теперь рассмотрим второе слагаемое, \(4^{1342}\). Аналогично предыдущему шагу, замечаем, что \(4 = 2^2\). Тогда мы можем переписать \(4^{1342}\) как \((2^2)^{1342}\). Используя свойство степени степени, получаем \(2^{2 \cdot 1342}\) или \(2^{2684}\).
- Для следующего слагаемого, \(2^{1343}\), нет необходимости в дополнительных преобразованиях, так как \(2^{1343}\) уже является упрощенным видом.
- Наконец, \(1344\) не содержит переменных и также не требует дополнительных преобразований.

2. Теперь, давайте вычислим значение исходного выражения, подставив найденные значения:
\[8^{1341} - 4^{1342} + 2^{1343} - 1344 = 2^{4023} - 2^{2684} + 2^{1343} - 1344.\]

Теперь, чтобы решить задачу о количестве единиц в двоичной записи этого числа, нам нужно преобразовать числа в двоичную систему счисления и проанализировать количество единиц в каждом числе.

3. Давайте начнем с первого слагаемого \(2^{4023}\). Чтобы преобразовать это число в двоичную систему счисления, мы можем поделить его на 2, пока не получим ноль в результате. Делая это, запишем остатки операций деления в обратном порядке. После деления на 2, получаем:

\[
\begin{align*}
2^{4023} &= 1 \cdot 2^{4022} + 0 \cdot 2^{4021} + 0 \cdot 2^{4020} + \ldots + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \\
&= 10...0 \text{ (содержит 4022 нуля) в двоичной системе счисления}.
\end{align*}
\]

Таким образом, в числе \(2^{4023}\) содержится 1 единица.

4. Проделаем те же шаги для второго слагаемого \(2^{2684}\):

\[
\begin{align*}
2^{2684} &= 1 \cdot 2^{2683} + 0 \cdot 2^{2682} + 0 \cdot 2^{2681} + \ldots + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \\
&= 10...0 \text{ (содержит 2683 нуля) в двоичной системе счисления}.
\end{align*}
\]

Таким образом, в числе \(2^{2684}\) также содержится 1 единица.

5. Продолжим с третьим слагаемым \(2^{1343}\):

\[
\begin{align*}
2^{1343} &= 1 \cdot 2^{1342} + 0 \cdot 2^{1341} + 0 \cdot 2^{1340} + \ldots + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \\
&= 10...0 \text{ (содержит 1342 нуля) в двоичной системе счисления}.
\end{align*}
\]

Таким образом, в числе \(2^{1343}\) также содержится 1 единица.

6. Наконец, рассмотрим последнее слагаемое \(1344\). Чтобы преобразовать его в двоичную систему счисления, мы можем снова применить деление на 2:

\[
\begin{align*}
1344 &= 1 \cdot 2^{10} + 0 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + 0 \cdot 2^7 + \ldots + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 \\
&= 10100100000 \text{ в двоичной системе счисления}.
\end{align*}
\]

Теперь нам нужно посчитать количество единиц в бинарной записи числа 1344. Мы видим, что в этом числе есть три единицы.

7. Итак, суммируем количество единиц в каждом слагаемом:

В \(2^{4023}\) содержится 1 единица,

в \(2^{2684}\) содержится 1 единица,

в \(2^{1343}\) содержится 1 единица,

и в \(1344\) содержится 3 единицы.

8. Наконец, суммируем эти четыре числа:

1 + 1 + 1 + 3 = 6.

Таким образом, в выражении \(8^{1341} - 4^{1342} + 2^{1343} - 1344\) содержится 6 единиц в двоичной записи.

Этот ответ должен быть понятен школьнику и детально объяснен, поэтому я пошагово рассмотрел каждое слагаемое, преобразовал их в двоичную систему счисления и вычислил количество единиц в каждом числе, чтобы найти окончательный ответ.